Zeta regularización vs serie de Dirichlet

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de números reales, que se denota $a_n$. Entonces la suma de la secuencia es

$\sum_n a_n$

Si este es divergente, podemos utilizar zeta de regularización para obtener una suma. Podemos hacer esto mediante la definición de la función

$\zeta_A(s) = \sum_n a_n^{-s}$

y, a continuación, analíticamente continuar con el caso en que $s=-1$.

Un enfoque diferente es el de definir la serie de Dirichlet

$A(s) = \sum_n \frac{a_n}{n^s}$

y, a continuación, analíticamente continuar con el caso en que $s=0$.

$Questions:$

1. Cuando estos dos enfoques se definen, se garantiza que ponerse de acuerdo sobre el resultado? Si no, para qué secuencias ¿de acuerdo?

2. Si son compatibles, es el segundo método de la sumación estrictamente más fuerte que la primera?

Por ejemplo, es claro que el primer método no puede hacer nada por la serie de $1+1+1+1+1+...$, mientras que el segundo método de los rendimientos -1/2, por lo que es al menos tan fuerte como el primero.

Answer 1

Para $n \geqslant 1$, vamos a $a_n = n + (-1)^{n-1}$. A continuación,$a_{2n} = 2n-1$$a_{2n-1} = 2n$, por lo que

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{a_n^s} = \zeta(s)$$

para $\operatorname{Re} s > 1$. Por lo tanto $\zeta$-regularización conduce a $\zeta(-1)$. Y para $\operatorname{Re} s > 2$ hemos

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s-1}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = \zeta(s-1) + \eta(s)\,$$

así que la continuación analítica de Dirichlet series conduce a $\zeta(-1) + \eta(0) = \zeta(-1) + \frac{1}{2}$.

Estos métodos son por lo tanto, no es compatible.