Fix $n > 1$ y deje $\zeta \in \mathbb{C}$ ser una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad. Deje $G \subset \text{SL}_2(\mathbb{C})$ ser un subgrupo cíclico de orden $n$ generado por la matriz diagonal $g = \text{diag}(\zeta, \zeta^{-1})$. El grupo $G$ actúa de forma natural en $\mathbb{C}[x, y]$. Deje $\mathbb{C}[x, y]^G$ ser el álgebra de $G$-polinomios invariantes, es decir,$$\mathbb{C}[x, y]^G = \{f \in \mathbb{C}[x, y] : f(\zeta^{-1}x, \zeta y) = f(x, y)\}.$$What is the description of the algebra $\ mathbb{C}[x, y]^G$ en términos de generadores y relaciones?
Respuesta
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Desde el grupo $G$ tiene la orden de $n$, por Noether del límite superior teorema para el generador de la álgebra de invariantes es un polinomio de grado $ \leq n.$ Vamos a considerar el promedio de Reynolds operador $R: \mathbb{C}[x,y] \to \mathbb{C}[x,y]^G$: $$ R=\frac{1}{n}\sum_{g \in G} g. $$
Entonces, por cálculo directo obtenemos
$R((xy)^k)=(xy)^k, k \in \mathbb{N}$ $R(x^k)=\delta_{k,n} x^k$ $R(y^k)=\delta_{k,n} y^k.$
Por eso, $\mathbb{C}[x,y]^G=\mathbb{C}[x^n,y^n,xy].$ La relación $x^n \cdot y^n=(xy)^n.$
