Los grupos de bajo Multiplicación

Question

Deje $G=GL(2,\mathbb R)$ e $ H =\left\{ \left[\begin{array}{ccc|c} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right]:\mbox {$a$$b$ son cero enteros }\right \}$ under the operation matrix multiplication. Disprove that $H$ is a subgroup of $G=GL(2,\mathbb R)$.

También he aprendido que tengo que demostrar que:

1) Demostrar que e∈H (donde e es la identidad)
2) Supongamos que a∈H , b∈H
3) Demostrar que ab∈H
4) Demostrar que $(ab)^{-1}$ (Inversa)

Así que sé que no Se sostiene, Pero ¿cómo puedo demostrar que?

Cuando trato de probar que e∈H sólo obtener la matriz Identidad y eso es debido a que tengo que a y b son cero enteros.

Cuando puedo probar que a y b es el conjunto entiendo que es debido a que ambos a y b son distintos de cero enteros, y que es la matriz identidad.

Ahora he demostrado que los una.b∈H de la siguiente manera:

$$ H = \left[ \begin{array}{ccc|c} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc|c} c & 0 \\ 0 & d \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc|c} ac & 0 \\ 0 & bd \end{array} \right] $$ Con a = b = c = d = 1 I obtener la matriz Identidad de nuevo.

Ahora sé que si a = b = 2 el subgrupo no se puede sostener debido a la inversa será un conjunto de números racionales y H es sólo un subgrupo si sólo contiene un número Entero.

Es mi razonamiento correcto y si no ¿de dónde me salen mal?

Answer 1

Eres el cuarto paso es un poco de exageración, en términos de probar si un subconjunto es un subgrupo. De hecho, tenemos que comprobar:

• $(1)$ el elemento de identidad de $G$, es decir, $e = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $H$ y que
• $(2)$ por dos elementos $h_1, h_2 \in H$, $h_1\cdot h_2 \in H$,

Pero con respecto a las pruebas para la inclusión de los inversos en H (si para cada elemento $h \in H$, también tenemos que $h^{-1} \in H)$, no necesitamos pruebas para los inversos de los productos de los elementos, ya que tú has mostrado $H$ es cerrado bajo la multiplicación.

De hecho, usted está en lo correcto que para la mayoría de las $h$ con el entero de las entradas $a, b$, el inverso $h^{-1} \notin H$ debido a que la correspondiente a los no-cero entradas serán probablemente los números racionales, pero no ambos enteros.

Así, por ejemplo,$h = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$, cuando calculamos el $h^{-1} = \begin{bmatrix} \frac 12 & 0 \\ 0 & \frac 12\end{bmatrix}$, hemos demostrado que $h^{-1} \notin H$, debido a $\frac 12 \notin \mathbb Z$.

Por lo tanto, hemos demostrado que $H$ es no cerrado bajo de tomar la recíproca. (Todo lo que necesita para ofrecer es un contraejemplo de algún elemento $h \in H$ tal que $h^{-1} \notin H$, para mostrar que $H$ no es cerrado bajo de tomar la recíproca.) Y por lo tanto, a la conclusión de que $H$, tal como se define, NO es un subgrupo de $G$. Y luego ya está.

Answer 2

En resumen:

$$\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&1\end{pmatrix}\neq H$$

Nosotros, por supuesto, tomar el inverso de la gran grupo de...