Desigualdad para la distribución normal bivariante

Question

Dejemos que $X_1$ y $X_2$ sea normal bivariante con media $\mu=(0,\mu_2)$ para cualquier $\mu_2$ y la correlación $\rho$ .

Consideremos la siguiente desigualdad: \begin {align*} Pr \left\ {|X_1| \ge \Phi ^{-1}(1- \alpha /2), |X_2| \ge \Phi ^{-1}(1- \alpha /2) \right\ } \le 2Pr \left\ {|X_1| \ge \Phi ^{-1}(1- \alpha /4), |X_2| \ge \Phi ^{-1}(1- \alpha /2) \right\ } \end {align*}

¿Es cierta la desigualdad para la correlación $|\rho| \le 1$ ?

¿Existen resultados relevantes sobre las distribuciones normales bivariadas generales?

Answer 1

Las constantes en este problema no tienen mucho sentido a menos que $X_1$ y $X_2$ tienen varianza $1$ para que $X_1$ y $X_2-\mu_2$ son variables aleatorias normales estándar, una suposición que el OP aparentemente no está dispuesto a hacer, ya que se preguntó sobre esto en los comentarios, y el OP no incluyó el supuesto en la versión revisada de la pregunta.

Supuesto: $X_1$ y $X_2$ tienen varianza $1$ .

Si $X_1$ es una variable aleatoria normal estándar, entonces $P\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-y/2)\} = y$ . Este resultado es válido para $X_2$ también si $\mu_2 = 0$ . Por lo tanto, si $X_1$ y $X_2$ ambos son independiente variables aleatorias normales, entonces $$\begin{align} &\quad P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2), |X_2| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\}\\ &= P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\} P\left\{|X_2| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\}\\ &= \alpha^2 \end{align}$$ mientras que $$\begin{align} &\quad P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/4), |X_2| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\}\\ &= P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/4)\right\} P\left\{|X_2| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\}\\ &= (\alpha/2)\alpha = \alpha^2/2 \end{align}$$ En resumen, para el caso $\mu_2 = 0$ el resultado conjeturado es válido (con igualdad) para el caso $\rho = 0$ . Continuando con el análisis del caso $\mu_2 = 0$ , si $X_2 = \pm X_1$ (el caso cuando $\rho = \pm 1$ ), tenemos $$\begin{align} &\quad P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2), |X_2| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\}\\ &= P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\}\\ &= \alpha \end{align}$$ mientras que $$\begin{align} &\quad P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/4), |X_2| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\right\}\\ &= P\left\{|X_1| \geq \Phi^{-1}(1-\alpha/4)\right\}\\ &= \alpha/2 \end{align}$$ por lo que una vez más se cumple el resultado conjeturado (con igualdad). ¿Qué ocurre con otros valores de $\rho \in [-1,1]$ no es inmediatamente obvio ya que la función de distribución normal acumulativa bivariada y los significados especiales de $\Phi^{-1}$ se pierden. El caso $\mu_2 \neq 0$ sólo agrava el desorden de los cálculos. La simulación podría ser la mejor opción para comprobar si el límite conjeturado es razonable.