Entiendo que el $\mathbb{R}P^2$ es homeomorfo al disco unitario con puntos de frontera identificados con sus antípodas. Pero incluso si perforamos el disco y lo estiramos desde el origen para que se retraiga hasta el límite, ¿cómo vamos a justificar que el límite identificado sigue siendo homeomorfo a $S^1$ (¿o lo es?)?
Los pinchazos $\Bbb{RP}^2$ La deformación se retrae sobre el círculo límite del disco con puntos antipodales identificados, $\Bbb{RP}^1 = S^1/(x \sim -x)$ . Esto es homeomorfo al círculo, por el mapa $S^1 \to \Bbb{RP}^1$ , $z \mapsto z^2$ . Se trata de una biyección continua, etc., por lo que es un homeomorfismo, como se desea, y por tanto el plano proyectivo puntuado es homotópicamente equivalente a $S^1$ y tiene grupo fundamental $\Bbb Z$ .
(Se puede ser mucho más preciso que esto: el plano perforado es homeomorfo a la banda de Mobius (abierta)).
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