Dar un ejemplo de una función continua $f : [0, ∞) \mapsto [0, ∞)$ tal que $\int_{0}^{\infty}f(x)dx$ existe sino $f$ es ilimitado.

Question

Dar un ejemplo de una función continua $f : [0, ∞) \mapsto [0, ∞)$ tal que $\int_{0}^{\infty}f(x)dx$ existe sino $f$ es ilimitado.

He estado pensando acerca de esto. Y he llegado a la conclusión de que voy a necesitar para construir una función, $f$, de tal manera que $f$ es una secuencia de triángulos de aumento de la altura, pero la disminución de la base. Yo, obviamente, necesita $f$ de manera tal que la altura de los triángulos, y la suma de las bases tiende a infinito. Pero también necesito que el $\sum (\text{height} \times \text{base}) \leq \infty $

Answer 1

Partiendo de su idea, pero lo que la mayoría de los triángulos para tener cero altura (de lo contrario no se convergen): Elegir algunos divergentes de la serie. Voy a asumir que estamos tratando con la serie armónica $\sum \frac{1}{n}$. El enésimo triángulo de base $\frac{1}{n}$.

Ahora, en general, comienzan con $f \equiv 0$, es decir, supongamos que el general triángulo tenemos es degenerado. Pero vamos a la $2^n$th ranura tiene un triángulo de altura $2^{n/2}$.

O más genéricamente: tienen alguna forma que tiene de área $1$$0$$1$, a continuación, algunos de forma que tiene de área $\frac{1}{2}$ $1$ a $2$, $\frac{1}{4}$ de$2$$3$, suavizando según sea necesario. Usted puede hacer su función de $0$ tanto como usted desea, pero usted necesita para hacer de su formas de llegar más alto. Usted puede pensar de la instalación de un triángulo de altura $k$ $k$th ranura, haciendo que la base del ancho necesario para dar área de $\frac{1}{2^k}$ en la ranura.

Usted puede hacer muchas más a lo largo de estas líneas.

Answer 2

Los sucesivos triángulos es definitivamente el camino a seguir (por ejemplo, la elección de la $n$th triángulo centrado en $n$ con la altura de la $n$ y la anchura $1/n^3$ hace el trabajo), pero las mezclas de distribuciones ofrecen regular ejemplos que son bastante natural (a probabilists, al menos...). Por lo tanto, considere la posibilidad de $$ f(x)=\sum_{n\geqslant1}n\,\varphi(n^3(x-n))\cdot\mathbf 1_{x\geqslant0}, $$ donde $\varphi$ es cualquier múltiplo de cualquier regulares PDF tal que $\varphi(0)\ne0$, por ejemplo, $$ \varphi(x)=\mathrm e^{-x^2}. $$ A continuación, $f(n)\geqslant n\varphi(0)$ por lo tanto $f$ es sin límites en el infinito, la función de $f$ es suave, su apoyo es la plena halfline $[0,+\infty)$, e $f$ es integrable desde $$ \int_0^\infty f(x)\,\mathrm dx\leqslant\int_\mathbb R\left(\sum_{n\geqslant1}n\,\varphi(n^3(x-n))\right)\,\mathrm dx=\sum_{n\geqslant1}\frac1{n^2}\cdot\int_\mathbb R\varphi(x)\mathrm dx. $$

Answer 3

Considere la función $$f(x)=x^2\exp(-x^8\sin^2 x)$$

como se ve aquí.

Answer 4

Yo tenía el mismo deseo que se expresa en dfeuer del comentario.

De las respuestas a la Integral de la $\cos^{n}(x)$ $[0,2\pi]$ $n$ un entero positivo y a Stirling aproximación obtenemos $$\int_0^{2\pi}\cos^{2n}x\,dx\sim\dfrac{2\sqrt\pi}{\sqrt n}.$$ Using this fact, we can show that $f(x) = x |\cos x|^{x^5}$ is an example. Note that $$\int_0^\infty f(x)\,dx=\sum\limits_{k=0}^\infty\int_{2\pi k}^{2 \pi(k+1)} x|\cos x|^{x^5}\, dx.$$ Because $t\mapsto t$ is increasing and $t\mapsto |\cos x|^t$ is decreasing for each $x$, podemos obligado cada sumando de la siguiente manera:

$$\begin{align*} \int_{2\pi k}^{2 \pi(k+1)} x|\cos x|^{x^5}\, dx & \leq\int_{2\pi k}^{2\pi(k+1)} 2\pi(k+1)|\cos x|^{(2\pi k)^5}\,dx\\ & \leq 2\pi(k+1)\int_{2\pi k}^{2\pi(k+1)}|\cos x|^{2k^5}\,dx\\ &= 2\pi(k+1)\int_{0}^{2\pi}\cos^{2k^5} x\,dx\\ &\sim \dfrac{C}{k^{3/2}}, \end{align*}$$ donde el último paso siguiente de los antes mencionados resultado, y $C$ es una constante independiente de $k$. Por lo tanto $\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty$.

Answer 5

Vamos $f= \cases{ x^{-1/2} , & $[0,1)$ \\ x^{-2} , & $[1,\infty )$ }$,$\int_0^\infty f(x)dx = 3$. Es que lo que usted está buscando?

EDIT: En el espíritu de mixedmath: Vamos a $Tr(x,h,w)=\max (1-|2x/w -1| , 0 )h$. A continuación, vamos a $h_i=i^{1/4}$$w_i=1/i^{2+1/4}$. Deje $f=\sum_{i=1}^\infty Tr(x-i,h_i,w_i)$ tal que \begin{equation} \int_0^\infty f(x) dx = \int_0^\infty\sum_{i=1}^\infty Tr(x-i,h_i,w_i) dx= 1/2\sum_{i=1}^\infty i^{-2}=\pi^2/12 \end{equation} con cuestionable convergencia.