Puede alguien explicar de Cayley del Teorema paso por paso?

Question

Esto es de Fraleigh del Primer Curso de Álgebra Abstracta (página 82, Teorema 8.16) y sigo teniendo problemas para entender su prueba. Entiendo que hasta que mencionar el mapa de $\lambda_x (g) = xg$. Alguien puede explicar esta prueba paso a paso? Muchas gracias! He aquí la prueba:

Deje $G$ ser un grupo. Nos muestran que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$.

Definir un uno-a-uno la función $\phi: G \to S_G$ tal que $\phi(xy)=\phi(x) \phi(y)$ todos los $x,y \in G$. Para $x \in G$, vamos a $\lambda_x: G \to G$ ser definido por $\lambda_x (g) = xg$ todos los $g \in G$. La ecuación de $\lambda_x (x^{-1} c) = x(x^{-1} c) = c$ todos los $c \in G$ muestra que $\lambda_x$ mapas de $G$ a $G$. Si $\lambda_x (a) = \lambda_x (b)$, $xa=xb$ $a=b$ por cancelación. Por lo tanto $\lambda_x$ es también uno a uno, y es una permutación de $G$. Ahora nos definen $\phi: G \to S_G$ definiendo $\phi(x) = \lambda_x$ todos los $x \in G$.

Para mostrar que $\phi$ es de uno a uno, supongamos que $\phi(x) = \phi(y)$. A continuación, $\lambda_x = \lambda_y$ como funciones de mapeo $G4 into G$. En particular,$\lambda_x (e) = \lambda_y (e)$, lo $xe=ye$$x=y$. Por lo tanto $\phi$ es de uno a uno. Sólo queda demostrar que $\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$, es decir, que $\phi_{xy} = \lambda_x \lambda_y$. Ahora para cualquier $g \in G$,$\lambda_{xy} (g) = (xy)g$. Permutación de la multiplicación es función de la composición, por lo $(\lambda_x \lambda_y)(g) = \lambda_x (\lambda_y (g)) = \lambda_x (yg) = x(yg)$. Así, por medio de la asociatividad, $\lambda_{xy} = \lambda_x \lambda_y$.

Answer 1

Primero vamos a pensar en lo del teorema de Cayley está tratando de hacer. La conclusión deseada es que cada finito grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico. Con el fin de hacer esto, se demuestra que el grupo de operación define las permutaciones de los elementos del grupo. ¿Cómo hacemos esto?

Paso 1. Supongamos que la línea de todos los elementos de la $G$ hasta en algún orden arbitrario y el número de izquierda a derecha, así: $$\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \end{array}$$ Paso 2. Ahora elija un elemento $x\in G$. Vamos a la izquierda se multiplican todos los elementos de a$G$$x$. $$\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ xa_1 & xa_2 & xa_3 & \cdots & xa_n \end{array}$$

Paso 3. Multiplicando por la izquierda por a $x$ reorganiza los elementos de $G$. Recordemos que en el paso 1, se asigna a todos los elementos de a $G$ un número. Eso significa que podemos buscar que el elemento $xa_i$ fue en el paso $1$ y escribir $xa_i=a_j$. Esto no está muy lejos de decir "$x$ devuelve el elemento en la posición $i$ a la posición $j$." Así que vamos a definir una función de $\lambda_x:\{1,\ldots,n \}\rightarrow \{1,\ldots,n \}$ $\lambda_x(i)=j$ al $x$ envía $a_i$$a_j$. Esto es sólo otra manera de escribir lo que hicimos en el paso $2$: $$\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_{\lambda_x(1)} & a_{\lambda_x(2)} & a_{\lambda_x(3)} & \cdots & a_{\lambda_x(n)} \end{array}$$

Paso 4. Finalmente definimos $\phi:G\rightarrow S_n$$\phi(x)=\lambda_x$. En otras palabras, estamos asociando el elemento $x$ con la permutación de $\{1,\ldots, n\}$ que $x$ induce, es decir, la permutación $\lambda_x$. Es fácil comprobar que $\phi$ es un inyectiva homomorphism. Así, hemos terminado.

Tenga en cuenta que hay un par de detalles que faltan de la anterior prueba que encontrarás en Fraleigh (por ejemplo, que el $\lambda_x$ es un bijection para cualquier $x$). Te recomiendo que peine a través de la prueba de nuevo y probar estos puntos sutiles para asegurarse de que entiende todo. Buena suerte!