La existencia de una operación $\cdot$ tal que $(a*(b*c))=(a\cdot b)*c$

Question

Cuando podemos definir una operación binaria $\cdot:M\times M\rightarrow M$ sobre una estructura algebraica $(M,*)$ tal que

$$a*(b*c)=(a\cdot b)*c$$

Si $*$ es asociativa, a continuación,$\cdot=*$, incluso si no estoy seguro acerca de la singularidad (Pero En derecho-invertible estructuras asociativas esto es comprobable)

Si $*$ es de derecha invetible, a continuación, $a\cdot b=(a*(b*c))\setminus c$ si $a\cdot b$ no depende de $c$

Así que mi pregunta es

$1$-No hay condición más débil que la asociatividad para $*$ que nos hacen capaces de para definir $a\cdot b$?

Principalmente estoy interesado en no-asociativa, de derecho invertible y/o selfdistributive estructuras algebraicas.

Answer 1

Hay varias posibilidades. Sólo quiero mencionar una respuesta obvia. Tomar cualquier álgebra $(M,*)$ que es "2-paso nilpotent", es decir, satisface $a\ast (b\ast c)=0$ para todos los $a,b,c$. Entonces podemos tomar el producto cero $a\cdot b=0$ obtener $$ un\ast (b\ast c)=0=(a\cdot b)\ast c. $$ Si el álgebra $M$ satisface $a\ast b= b\ast a$ o $a\ast b=-b\ast a$, también se $a\cdot b=a\ast b$ es una posibilidad. Por ejemplo, $M$ podría ser un paso de dos nilpotent Mentira álgebra (esto es más fuerte que la asociatividad, pero sin duda, uno puede encontrar ejemplos con, digamos, "semi-asociativo" álgebra de operadores, es decir, la satisfacción de $(a,b,c)=(b,a,c)$ para el asociador).

Answer 2

Bueno, ahí está el obvio equivalente condición: $$ \forall \, a,b,c \in M, \; \exists \, x \in M \text{ tales que } a * (b * c) = x * c $$ Entonces podemos definir a $a \cdot b = x$.

Esto implica el más fuerte $$ \forall \, a_1, a_2, \ldots, a_k \en M, \; \exists \, x \in M \text{ tales que } a_1 * (a_2 * (a_3 * \cdots * (a_{k-1} * a_k))) = x * a_k $$

O, usando el significado usual de la aplicación de una operación binaria a conjuntos, $$ \forall \, c \in M, \; \forall k \in \mathbb{N} \; : \; M \underbrace{* (M * (M * \cdots *(M *}_{k \text{ } *\text{s}} \{c\}))) \subconjunto de M * \{c\} $$ Me doy cuenta de que usted probablemente querrá una débil condición que se ve fáciles de controlar, y no una condición potente como este, pero creo que esto genera una cierta penetración en la naturaleza de los $M$ que $\cdot$ puede ser definido. Esencialmente, su propiedad, es decir: la aplicación de $M$ a la izquierda de un conjunto de dos veces se producen estrictamente un conjunto más pequeño de la aplicación de $M$ a la izquierda de un conjunto de una sola vez.