Espectáculo $A^T$ tiene un autovector con todos los componentes racionales

Question

Matriz $A$ $5 \times 5$ matriz racional entradas, que $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5})^T$ es un vector propio de A. Mostrar que $A^T$ ha autovector con todos los componentes racionales.

Mi idea es: dejar que el autovalor asociado con el anterior vector propio ser $λ$. Puesto que todas las entradas de la matriz son números racionales para un número irracional serán linealmente independientes. El uso de este

$2(a_{11} + 2a_{14}) = a_{41} + 2a_{44}$

$a_{21}+2a_{24} = 0$

$a_{31}+2a_{34} = 0$

$a_{51}+2a_{54} = 0$

pero no puedo encontrar la matriz transpuesta del vector propio.

Answer 1

Deje $v = (1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5})^T$ y asumen $A v = \lambda v$. Desde la primera fila tenemos $$a_{1,1} + 2 a_{1,4} + a_{1,2} \sqrt{2} + a_{1,3} \sqrt{3} + a_{1,5} \sqrt{5} = \lambda$$ Desde la segunda fila, se obtiene: $$a_{2,1} + 2 a_{2,4} + a_{2,2} \sqrt{2} + a_{2,3} \sqrt{3} + a_{2,5} \sqrt{5} = \lambda \sqrt{2}$$ Ahora sustituye $\lambda$: $$a_{2,1} + 2 a_{2,4} + a_{2,2} \sqrt{2} + a_{2,3} \sqrt{3} + a_{2,5} \sqrt{5} = (a_{1,1} + 2 a_{1,4} + a_{1,2} \sqrt{2} + a_{1,3} \sqrt{3} + a_{1,5} \sqrt{5}) \sqrt{2}$$ Multiplicar y reorganizar los términos: $$a_{2,1} + 2 a_{2,4} - 2a_{1,2} + (a_{2,2}-a_{1,1}-2a_{1,4}) \sqrt{2} + a_{2,3} \sqrt{3} + a_{2,5} \sqrt{5} - a_{1,3} \sqrt{6} - a_{1,5} \sqrt{10} = 0$$ Desde las raíces de la squarefree enteros positivos son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, obtenemos, en particular,$a_{1,3} = 0$$a_{1,5} = 0$, así $$\lambda = a_{1,1} + 2a_{1,4} + a_{1,2} \sqrt{2}.$$ Desde la tercera fila, se obtiene: $$a_{3,1} + 2 a_{3,4} + a_{3,2} \sqrt{2} + a_{3,3} \sqrt{3} + a_{3,5} \sqrt{5} = \lambda \sqrt{3}$$ De nuevo, sustituya $\lambda$: $$a_{3,1} + 2 a_{3,4} + a_{3,2} \sqrt{2} + a_{3,3} \sqrt{3} + a_{3,5} \sqrt{5} = (a_{1,1} + 2a_{1,4} + a_{1,2} \sqrt{2}) \sqrt{3}$$ Multiplicar y reorganizar los términos: $$a_{3,1} + 2 a_{3,4} + a_{3,2} \sqrt{2} + (a_{3,3}-a_{1,1}-2a_{1,4}) \sqrt{3} + a_{3,5} \sqrt{5} - a_{1,2} \sqrt{6} = 0$$ Así obtenemos $a_{1,2} = 0$ y $$\lambda = a_{1,1} + 2 a_{1,4}$$ Por lo tanto $\lambda \in \mathbb{Q}$. Desde $A^T$ $A$ tienen el mismo conjunto de valores propios, $A^T$ es una matriz racional de los componentes y racional autovalor. Por lo tanto, $A^T$ tiene un autovector con racional de los componentes.