No estoy completamente seguro de entender lo que pides, pero aquí tienes un intento: el fenómeno que describes tiene implicaciones para el conjunto de soluciones del Ecuación de Mordell $y^2 + k = x^3$ (se trata de la misma ecuación diofantina por la que preguntaste, con una notación ligeramente diferente). Esto se trata en esta exposición de Keith Conrad y esta exposición de la mía.
Aquí está la propuesta 4 de mi enlace, que parece especialmente relevante:
Proposición: Sea $R$ sea un UFD, $n \in \mathbb{Z}^+$ y $x,y,z \in R$ sean elementos coprimidos tales que $xy = z^n$ .
a) Entonces existe $\alpha,\beta \in R$ y unidades $u,v \in R^{\times}$ tal que $x = u \alpha^n, y = v \beta^n$ .
b) Si cada unidad de $R$ es un $n$ potencia, entonces existe $\alpha,\beta \in R$ tal que $x = \alpha^n$ , $y = \beta^n$ .
En la sección 4 de mi enlace, se demuestra que cuando la hipótesis de esta proposición se aplica a $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-k}]$ (o en realidad una condición más débil, que equivale al orden cuadrático $\mathbb{Z}[\sqrt{-k}]$ que sea maximalista y de número de clase primo a $3$ ) la ecuación de Mordell tiene muy pocas soluciones $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ y todas las soluciones pueden describirse explícitamente. Contrapuestamente, se dan ejemplos en los que la ecuación de Mordell tiene soluciones adicionales "inesperadas", que son de hecho ejemplos concretos de cuando no se satisface la hipótesis por la que se pregunta.
Añadido : Permítanme reproducir un poco más de mis notas.
Teorema: Supongamos que $k$ es un entero positivo libre de cuadrados con $k \equiv 1,2 \pmod 4$ . Supongamos que el anillo cuadrático $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-k}]$ tiene la propiedad "CM(3)": para todo $x,y,z \in R$ tal que el ideal generado por $x$ y $y$ es todo $R$ y $xy = z^3$ entonces $x$ y $y$ son cubos en $R$ hasta las unidades: existen $\alpha,\beta \in R$ y $u,v \in R^{\times}$ tal que $x = u \alpha^3$ , $y = v \beta^3$ . En particular, esto es válido cuando $R$ es un UFD y, de hecho, siempre que su número de clase sea primo de $3$ . Obsérvese que las condiciones de $k$ garantizar que $R$ es el anillo completo de enteros en $\mathbb{Q}(\sqrt{-k})$ .] Entonces la ecuación de Mordell $y^2 + k = x^3$ no tiene soluciones enteras o tiene dos soluciones enteras. Si lees el folleto encontrarás una condición explícita en términos de $k$ que te dice en qué caso estás, y también cuáles son exactamente las dos soluciones si estás en ese caso].
Ejemplo: Tome $k = 26$ . Entonces la ecuación $y^2 + 26 = x^3$ tiene al menos $4$ soluciones: $(x,y) = (3,\pm 1), (35,\pm 207)$ , por lo que el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-26}]$ no satisface la propiedad CM(3). Este es un ejemplo explícito de lo que (creo) busca el PO. Bueno, no estoy siendo completamente explícito sobre lo que el $x,y,z$ ¡son en este caso, pero es un buen ejercicio para rastrear las pruebas y encontrarlas!
