Me gustaría aproximar el positivo de la raíz de la siguiente ecuación $$ 2(p+1)x^p - px - 2 = 0 $$ donde $p$ es un número entero. Se podría utilizar la fórmula de $(1 - y)^p \approx 1 - py$ $y$ pequeña para obtener una aproximación de la raíz de $x_0 \approx \frac{1}{2p+1}$. Sin embargo, creo que podemos hacer una aproximación más fuerte. Podría usted por favor, sugiera algunas ideas?
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Matt Dawdy
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Escribir $x = 1 - \frac{r}{p}$. A continuación, $x^p \approx e^{-r}$ y la ecuación se convierte en (aproximadamente)
$$2(p+1) e^{-r} + r = p+2.$$
Para un gran $p$ la aproximación $r \approx 1$, sustituido en el anterior, da $r \approx \ln 2$. Dejando $r = \ln 2 + s$ tenemos
$$(p+1) e^{-s} + \ln 2 + s = (p+2).$$
Ya sabemos $s$ será pequeña para un gran $p$ podemos más se aproxima a este por
$$(p+1)(1 - s) + \ln 2 + s = (p+2)$$
dando a $s = \frac{\ln 2 - 1}{p}$, por lo tanto
$$x \approx 1 - \frac{\ln 2}{p} + \frac{1 - \ln 2}{p^2}.$$
Estoy bastante seguro de que es preciso un poco mejor que los de segundo orden:
- Para $p = 10$ el positivo de la raíz es acerca de $0.936$ y el de arriba te da acerca de $0.934$.
- Para $p = 100$ el positivo de la raíz es acerca de $0.993123$ y el de arriba te da acerca de $0.993099$.
