Laurent De Alimentación De La Serie Polinómica De La División De

Question

Tengo curiosidad acerca de hacer una de la serie de laurent de una función racional, si es posible por la división larga de polinomios. Por ejemplo, $$\frac{3}{x+2}.$$ Si puedo hacer una división larga aquí, me gustaría primero se multiplica el divisor $(x+2)$ $3x^{-1}$ y restar esta de $3$ conseguir $-6x^{-1}$ y luego se multiplica el divisor $(x+2)$ $-6x^{-2}$ y restar esta de $-6x^{-1}$ conseguir $12x^{-2}$ y así sucesivamente. Es esta una forma de obtener un tipo de Laurent de la serie representación de la función racional? Así que me gustaría conseguir mi serie "representación" a ser algo así como $$\frac{3}{x+2} = 3x^{-1}-6x^{-2}+12x^{-3}-24x^{-4}+\cdots.$$ O es esta tontería?

Estoy buscando en un problema en este trabajo en el que estamos buscando en la fracción de campo de un anillo de grupo y la toma de los dos elemento no nulo $p,q$ de el anillo de grupo y están buscando a $\frac{p}{q}$ y por la forma de llegar a una forma equivalente de $\frac{p}{q}$ el autor dice que hacer una división larga de polinomios a escribir $\frac{p}{q}$ como Laurent de alimentación de la serie. Me puede dar más detalles si es necesario, acerca de esto, por lo menos vamos a ver si lo que estoy pensando hace ningún sentido =p gracias

Answer 1

Esto no es del todo correcta. Formal de la serie de Laurent se permiten solamente un número finito de términos negativos, para evitar problemas con la definición de la multiplicación (la definición de las obras debido a que sus dominios son wellordered; se puede comprobar que la definición no funcionará si permite a los infinitamente pequeños y grandes exponentes, como sería necesario definir infinito sumas que no están permitidos. Podríamos, en principio, en lugar de permitir que sólo un número finito de positivo , pero eso chocaría con la idea de que Laurent serie debe contener regular de poder formal de la serie).

Así que usted quiere en la otra dirección, para obtener $$\frac{3}{x+2}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{16}x^3+\ldots =\sum_{n\geq 0} \frac{3}{2}\left(-\frac{x}{2}\right)^n$$ Observe que el resultado es en realidad un poder formal de la serie. En general, un poder formal de la serie con el término constante es invertible (como $(x+2)$) es invertible en el anillo de poder formal de la serie.