Estoy teniendo algunos problemas con la integración de una función 3D esféricamente simétrica. Estoy teniendo la siguiente expresión para evaluar : $$ I=\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta d\theta\int_0^\infty \frac{\partial f}{\partial r} r^2 dr $$
donde la función genérica $f$ sólo depende del radio $r$ . Si estuviera en coordenadas cartesianas, no habría $r^2$ y la integral sería 0 siempre que $f$ desaparece en el infinito (lo cual está bien).
Ahora, en coordenadas esféricas, esto no parece ser cierto. Si integro primero sobre los ángulos, obtengo un factor $4\pi$ frente a la integral radial. Entonces puedo integrar por partes para eliminar la derivada parcial y obtengo : $$ I=-8\pi\int_0^\infty f(r)r dr $$ ya que los términos de frontera desaparecen si $f(r) \rightarrow 0$ .
A primera vista, esto parece ser correcto. Sin embargo, al examinar la definición de integración por partes en $R^n$ :
$$ \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,d\Omega = \int_{\Gamma} u v \, \nu_i \,d\Gamma - \int_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_i} \, d\Omega $$
Dónde $\nu_i$ es un vector unitario en $\Gamma$ el límite de $\Omega$ . Mi cálculo anterior no parece ser correcto. El $r^2$ forma parte de la medida de integración $d\Omega$ y, por tanto, no debe tenerse en cuenta para la "derivada-intercambio". Esto significaría que mi primera integral es $0$ para todas las funciones $f$ que se comportan bien y se desvanecen lo suficientemente rápido como $\rightarrow\infty$ . $$ I= \left| f(r) r^2 \right|_{r=0}^{r=\infty} = 0 $$
¿Cuál de las dos versiones (si es que alguna) es correcta?
Conoces alguna buena referencia sobre integración por partes en coordenadas no cartesianas.
