Significado de las diferentes colector de estructuras

Question

Me gustaría probar que si $$ M = \{(x,y)\in\mathbb R^2: y^2 - 4x^2(1-x^2) = 0\} $$ y $$ P:(0,2\pi)\to M, \quad \theta \mapsto (\sin \theta,\sin 2\theta), $$ $$ Q:(-\pi,\pi)\to M, \quad \theta \mapsto (\sin \theta,\sin 2\theta), $$ ambos son bijective (esto es fácil) sino $P^{-1}$ $Q^{-1}$ no le de $M$ la misma estructura diferenciable. ¿Qué significa esto?

También, creo que ambas estructuras son dipheomorphic, ya $M\to M$ $P\circ \beta \circ Q^{-1}$ donde $\beta(t) = t+\pi$ es diferenciable. Esto es correcto?

Edit: $P^{-1}\circ Q$ $\theta\in(0,2\pi)\mapsto \pi-\theta\in(-\pi,\pi)$ y está bien definido.

Answer 1

Una estructura diferenciable en un colector es, por definición, un máximo de $C^{\infty}$-atlas, es decir, una colección de mapas (como $P$ $Q$ en el ejemplo) siendo máxima con respecto a la condición de que se $C^{\infty}$compatible. Esto significa que su cambio de coordenadas se $C^{\infty}$.

Si tiene dos, posiblemente, no la máxima atlas en un colector puede preguntar si los cuadros de uno de ellos se $C^{\infty}$compatible con el respeto a los gráficos de la otra. Si todos ellos resultan ser compatible, entonces la unión de ambos atlas es un nuevo atlas en el colector.

Sin embargo, si usted encuentra un gráfico en uno de ellos, que no es compatible con una de las cartas de los otros atlas, no hay manera de encontrar un mayor atlas que contienen tanto de ellos. Por lo tanto, esto da la idea de que, a pesar de que ambos atlas servir para dar un cierto conjunto un diferenciable estructuras, estos no son compatibles.

En tu ejemplo, los cambios de coordenadas se $P^{-1}\circ Q:(-\pi,\pi)\to(0,2\pi)$$Q^{-1}\circ P:(0,2\pi)\to(-\pi,\pi)$. Estas composiciones son bijective desde $P$ $Q$ son biyective, sin Embargo, por ejemplo, que no son continuas, por ejemplo en $\pi/2$.