Reordenamientos que nunca cambie el valor de una suma

Question

Que bijections $f:\{1,2,3,\ldots\}\to\{1,2,3,\ldots\}$ tienen la propiedad de que para cada secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$, $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_{f(k)},$$ donde "$=$" se interpretará en el sentido de que si el límite existe, entonces lo hace el otro y en ese caso, entonces son iguales?

Está claro que hay una cantidad no numerable de estos.

Podría ser simplemente que $\{f(n)/n : n=1,2,3,\ldots\}$ se apartó tanto de $0$$\infty$?

Estos bijections formar un grupo. Puede cualquier cosa de interés que se dijo acerca de ellos como grupo?

PS: he Aquí otro moderadamente conjetura (la de arriba parece estar equivocado): Puede que sea solo el bijections que cada órbita es finito?

Answer 1

La hipótesis es incorrecta.

Deje $f$ ser la siguiente secuencia:

$1,2 ; 3,5,4,6; 7,9,11,8,10,12; \cdots$

donde cada bloque tiene dos números más que en el bloque anterior y pasa a través de los números impares en orden antes de que el incluso.

Claramente $f(n) \in n + O(\sqrt{n})$$n \to \infty$.

Ahora considere la siguiente serie:

$( \frac{1}{1} - \frac{1}{1} ) + ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ) + ( \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} ) + \cdots$

dividido en bloques de la misma manera en que cada bloque tiene un alternando suma de la misma recíproco del índice del bloque. Claramente esta serie converge a $0$. Sin embargo, después de aplicar el $f$ a la secuencia en la serie, se obtiene:

$( \frac{1}{1} - \frac{1}{1} ) + ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ) + ( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} ) + \cdots$

que claramente no converge.

También, es fácil ver que se puede colocar arbitrariamente grandes bloques de función identidad entre los bloques en la permutación, y los correspondientes bloques de ceros en la serie, y el comportamiento es exactamente el mismo. Esto significa que no es un contraejemplo donde$f(n) \in n + o(n)$$n \to \infty$, equivalente a donde $\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{n}$ existe.

Answer 2

Mi adivinado interpretación de la segunda hipótesis está mal. (El original de la segunda hipótesis era ya inválidos por la primera contra-ejemplo.)

Deje $f$ ser la siguiente secuencia:

$1;3,2;5,6,4;8,9,10,7;\cdots$

donde cada bloque tiene un número más que en el bloque anterior y es, esencialmente, un cambio cíclico de los elementos en esas posiciones. Por lo $f$ tiene orden infinito.

Luego reorganizar una serie usando $f$ no cambia la existencia y el valor de su límite debido a la magnitud de la discrepancia entre las sumas parciales es siempre más que la suma de la magnitud de dos términos con los que eventualmente el aumento de los índices. Si uno converge, el otro debe por lo tanto convergen desde los términos ir de forma individual a cero.

Answer 3

En primer lugar voy a demostrar que efectivamente los reordenamientos $R$ que preservar la convergencia y el valor de cada serie de formar un grupo.$\def\nn{\mathbb{N}}$ Cada reordenamiento, por supuesto, pueden ser considerados como una permutación en $\nn$. Cada secuencia es también una función en $\nn$. Utilizaremos $\sum^\infty x$ para denotar el límite de las sumas parciales de $x$ si existe y $null$ lo contrario.

Para cualquier $f \in R$:

$\sum^\infty a = \sum^\infty ( a \circ f )$ para cualquier secuencia $a$:

Para cualquier secuencia $a$:

$\sum^\infty ( a \circ f^{-1} ) = \sum^\infty ( a \circ f^{-1} \circ f ) = \sum^\infty a$.

Por lo tanto,$f^{-1} \in R$.

Para cualquier $f,g \in R$:

$\sum^\infty a = \sum^\infty ( a \circ f )$ para cualquier secuencia $a$:

$\sum^\infty a = \sum^\infty ( a \circ g )$ para cualquier secuencia $a$:

Para cualquier secuencia $a$:

$\sum^\infty a = \sum^\infty ( a \circ f ) = \sum^\infty ( a \circ f \circ g )$.

Por lo tanto,$f \circ g \in R$.

[Bueno me puse a pensar en el papel (y no me gusta pagar-las paredes de las matemáticas papeles) y la colección de la que dicen que no es un grupo de las permutaciones que hacer una serie convergente en otro convergente. El papel incluso menciona que la colección que le interesa es obviamente un grupo.]

Una condición suficiente para el reordenamiento de la secuencia de suma-preservación es que hay una natural $k$ tal que para todo natural $n$ no más de $k$ cifras en $[1..n]$ faltan de la longitud-$n$ prefijo de la secuencia.

Es evidente que si la condición anterior se mantiene, entonces la diferencia entre las sumas parciales de la original y se reordena la serie están delimitadas por la suma de magnitud en la mayoría de las $2k$ términos. Estos términos tienen, finalmente, el aumento de los índices, porque los números en $[1..n]$ que no están en la longitud-$n$ prefijo eventualmente aparecen en más de prefijo, y los números en la longitud-$n$ prefijo que no están en $[1..n]$ $[1..m]$ algunos $m > n$. Dado que los términos finalmente vaya a cero, la suma de cualquiera de las $2k$ términos con aumentar el tiempo de los índices también debe ir a cero.

Esta condición está lejos de ser necesarias, porque el siguiente permutación es de suma-preservar, pero ha $\limsup_{n\to\infty} \frac{f(n)}{n} = \infty$$\liminf_{n\to\infty} \frac{f(n)}{n} = 0$:

$1;3,2;9,8,7,6,5,4;\cdots$

donde el $k$-ésimo bloque ha $k!$ elementos y simplemente se invierte. La razón es que para cualquier $ε > 0$ hay algunas natural $k$ de manera tal que todas las sumas parciales de cada bloque, más allá de la $k$-th tienen magnitud menos de $ε$, y por lo tanto también las sumas parciales de la cuadra a la inversa. Esto significa que el reordenado de la serie tiene la misma suma por la convergencia de Cauchy.