Una confusión respecto a un ejemplo en The Feynman Lectures

Question

En Las conferencias Feynman En el capítulo titulado Trabajo y energía potencial Feynman afirma:

El trabajo realizado al recorrer cualquier trayectoria en un campo gravitatorio es cero. Este es un resultado muy notable. Nos dice algo que no sabíamos no sabíamos antes sobre el movimiento planetario. Nos dice que cuando un planeta se mueve alrededor del sol (sin ningún otro objeto alrededor, sin otras fuerzas) se mueve de tal manera que el cuadrado de la velocidad en cualquier punto menos algunas constantes divididas por el radio en ese punto es siempre el mismo en cada punto de la órbita. Por ejemplo, cuanto más más cerca está el planeta del sol, más rápido va, pero por lo que pero ¿en qué medida? En la siguiente cantidad: si en lugar de dejar que el planeta vaya alrededor del sol, cambiáramos la dirección (pero no el magnitud) de su velocidad y lo hiciéramos moverse radialmente, y luego lo dejáramos que caiga desde un radio especial hasta el radio de interés, la nueva velocidad sería la misma que la que tenía en la órbita real, porque este es un ejemplo más de una trayectoria complicada. Siempre y cuando volvamos a la misma distancia, la energía cinética será la misma.

Entiendo que $\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=\text{constant}$ en un camino cerrado. Sin embargo, no consigo visualizar el ejemplo del planeta del que habla Feynman.

Entonces, cuando dice que la dirección de la velocidad sea radial, ¿es radial hacia adentro o hacia afuera?

Y no puedo formarme una imagen mental de la forma del camino que describe y ¿Cómo se cierra?

En general, estoy confundido, ¿alguien puede descifrarlo por mí?

Answer 1

SECCIÓN A : El ejemplo de las conferencias de Feynman

Sea un cuerpo P (Planeta o Partícula o lo que sea) que se mueve en órbita alrededor de un centro de atracción llamado $\:\rm{SUN}$ como en la figura anterior. Supongamos que la fuerza de atracción $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ depende continuamente sólo de la distancia $\:r\:$ del cuerpo P desde el centro $\:\rm{SUN}$ . Aquí no es necesario que esta fuerza obedezca a una ley cuadrática inversa o que sea alguna función especial de $\:r\:$ . En otras palabras, diríamos que $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ es algo así como
\begin{equation} \mathbf{f}\left(r\right)=\;-\;f\left(r\right)\dfrac{\mathbf{r}}{r}=\;-\;f\left(r\right)\mathbf{n}_{r} \tag{01} \end{equation} donde $\:f\left(r\right)\left(>0\right)$ la magnitud de $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ continua e integrable, y $\:\mathbf{n}_{r}\:$ el vector unitario a lo largo de $\:\mathbf{r}\:$ . En el caso de la gravitación de Newton o la fuerza electrostática de Coulomb

\begin{equation} f\left(r\right)= \dfrac{C}{r^{2}} \;, \quad C=\text{positive real} \tag{02} \end{equation} Ahora, que el cuerpo $\:\rm{P}\:$ , moviéndose en su órbita, se encuentra en un instante en el punto $\:\rm{P}_{1}\:$ con velocidad $\:\mathbf{v}_{1}\:$ y a distancia $\:r_{1}\:$ . Más tarde el cuerpo $\:\rm{P}\:$ se encuentra en su órbita en el punto $\:\rm{P}_{2}\:$ con velocidad $\:\mathbf{v}_{2}\:$ de mayor magnitud y a menor distancia $\:r_{2}\:$ .

Un cuerpo gemelo $\:\rm{P}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ Copia exacta de $\:\rm{P}\:$ , comienza a partir de $\:\rm{P}_{1}\:$ a esta misma distancia $\:r_{1}\:$ con velocidad $\:\mathbf{w}_{1}\:$ de igual a $\:\mathbf{v}_{1}\:$ magnitud ( $\:{w}_{1}=\Vert\mathbf{w}_{1}\Vert=\Vert\mathbf{v}_{1}\Vert={v}_{1}\:$ ), viajando radialmente y llegando al punto $\:\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ con velocidad $\:\mathbf{w}_{2}\:$ a esta misma distancia $\:r_{2}\:$ . El resultado a demostrar es que la velocidad $\:\mathbf{w}_{2}\:$ es de igual magnitud que $\:\mathbf{v}_{2}\:$ : $\:{w}_{2}=\Vert\mathbf{w}_{2}\Vert=\Vert\mathbf{v}_{2}\Vert={v}_{2}\:$ .

Aplicaremos el conocido principio : \begin{equation} \textbf{Change of kinetic energy = Work done by forces} \tag{03} \end{equation}

Para el cuerpo $\:\rm{P}\:$ en su órbita entre los puntos $\:\rm{P}_{1}\:$ y $\:\rm{P}_{2}\:$ el principio anterior da como resultado \begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( v_{2}^{2}- v_{1}^{2}\right)=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}}\mathbf{f}\left(r\right)\circ d\mathbf{r}=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}}\left[\;-\;f\left(r\right)\dfrac{\mathbf{r}}{r}\right]\circ d\mathbf{r}= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr \tag{04} \end{equation}

En último lugar a la igualdad de la derecha utilizamos el hecho de que \begin{equation} \mathbf{r}\circ d\mathbf{r}= \tfrac{1}{2}d\left(\mathbf{r}\circ \mathbf{r} \right)=\tfrac{1}{2}d\left(\Vert\mathbf{r}\Vert^{2}\right)=\tfrac{1}{2}d\left(r^{2}\right)= r dr \tag{05} \end{equation}

Así que, \begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( v_{2}^{2}- v_{1}^{2}\right)= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr = - \left[\Phi\left(r_{2}\right)-\Phi\left(r_{1}\right)\right] \tag{06} \end{equation} donde $\:\Phi\left(r\right)\:$ la siguiente integral indefinida \begin{equation} \Phi\left(r\right)=\int f\left(r\right)dr \tag{07} \end{equation}

Para el cuerpo gemelo $\:\rm{P}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ viajando radialmente desde el punto $\:\rm{P}_{1}\:$ para señalar $\:\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ el principio (03) produce, por supuesto, el mismo resultado para el cambio de energía cinética \begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( w_{2}^{2}- w_{1}^{2}\right)=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}}\mathbf{f}\left(r\right)\circ d\mathbf{r}=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}}\left[\;-\;f\left(r\right)\dfrac{\mathbf{r}}{r}\right]\circ d\mathbf{r}= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr \tag{08} \end{equation} es decir \begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( w_{2}^{2}- w_{1}^{2}\right)= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr = - \left[\Phi\left(r_{2}\right)-\Phi\left(r_{1}\right)\right] \tag{09} \end{equation} A partir de (06) y (09) \begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( w_{2}^{2}- w_{1}^{2}\right)= \tfrac{1}{2}m\left( v_{2}^{2}- v_{1}^{2}\right) \tag{10} \end{equation} por lo que si $\: w_{1}= v_{1}\:$ entonces $\: w_{2}= v_{2}\:$ , QED.

Pero no se trata sólo de demostrarlo, sino de hablar de lo que hay debajo de la mesa, como hizo Feynman.

La función $\:\Phi\left(r\right)\:$ es la energía potencial y es una herramienta muy importante : piensa que tienes que calcular el trabajo realizado por una fuerza $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ así en la ecuación (01) desde el punto $\:\rm{P}_{1}\:$ para señalar $\:\rm{P}_{2}\:$ en una trayectoria curvilínea de ecuación muy complicada. En lugar de estar involucrado en cálculos complejos y tediosos tienes inmediatamente la respuesta utilizando la energía potencial :

trabajo realizado \= $\:\Phi\left(r_{1}\right)-\Phi\left(r_{2}\right)\:$ .

La ecuación (06) o (09) puede expresarse como

\begin{equation} \tfrac{1}{2}m v_{2}^{2}+\Phi\left(r_{2}\right)=\tfrac{1}{2}m v_{1}^{2}+\Phi\left(r_{1}\right) \tag{11} \end{equation} que se traduce en la conservación de la energía \begin{equation} \underbrace{\tfrac{1}{2}m v^{2}}_{kinetic\: energy}+\underbrace{\tfrac{}{}\Phi}_{potential\: energy} = \text{ constant} \tag{12} \end{equation} Tenga en cuenta que el potencial $\:\phi \:$ es la energía potencial por unidad de carga \begin{equation} \phi = \dfrac{\Phi}{\xi} \tag{13} \end{equation} donde $\:\xi\:$ es la carga : $\:\xi= m = \text{mass}\:$ en la gravitación , $\:\xi= q = \text{electric charge}\:$ en la electrostática.

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SECCIÓN B : Campos vectoriales conservadores

Existe una relación que conecta el campo vectorial $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ de la ecuación (01) y el potencial escalar $\:\Phi\left(r\right)\:$ de la ecuación (07). A partir de (07)

\begin{equation} f\left(r\right)=\dfrac{d\Phi}{dr} \tag{14} \end{equation} Por otro lado, ya que $\:\mathbf{r}=\left(x,y,z\right)\:$ y $\:r=\Vert\mathbf{r}\Vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\:$
\begin{equation} \mathbf{n}_{r}=\dfrac{\mathbf{r}}{r}=\left(\dfrac{x}{r},\dfrac{y}{r},\dfrac{z}{r}\right)=\left(\dfrac{\partial r}{\partial x},\dfrac{\partial r}{\partial y},\dfrac{\partial r}{\partial z}\right) \tag{15} \end{equation}

Insertando las expresiones (14) y (15) en (01) se obtiene

\begin{equation} \mathbf{f}\left(r\right)=-\dfrac{d\Phi}{dr}\left(\dfrac{\partial r}{\partial x},\dfrac{\partial r}{\partial y},\dfrac{\partial r}{\partial z}\right)=-\left(\dfrac{d\Phi}{dr}\dfrac{\partial r}{\partial x},\dfrac{d\Phi}{dr}\dfrac{\partial r}{\partial y},\dfrac{d\Phi}{dr}\dfrac{\partial r}{\partial z}\right)=-\left(\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z}\right) \tag{16} \end{equation} es decir \begin{equation} \mathbf{f}\left(r\right)=\;- \;\nabla \Phi \tag{17} \end{equation} donde \begin{equation} \nabla = \left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \tag{18} \end{equation} el conocido "gradiente", un importante operador diferencial aplicado a funciones escalares de $\:\left(x,y,z\right)\:$ .

El gradiente $\:\nabla \Phi \:$ es un vector con magnitud igual a la tasa de cambio de $\:\Phi\:$ , cambio por unidad de longitud. Pero no es sólo esto : su dirección es en cualquier punto siempre normal a las superficies $\:\Phi = \text{constant}\:$ , las llamadas superficies equipotenciales, como se muestra en la figura anterior, y apunta a la dirección de la tasa máxima de aumento por unidad de longitud. La fuerza de campo apunta en sentido contrario, a la tasa máxima de disminución del potencial (energía).

Obsérvese que bajo la luz de la definición de gradiente, la ecuación (15) se lee \begin{equation} \nabla r = \dfrac{\mathbf{r}}{r}= \mathbf{n}_{r} \tag{15'} \end{equation} En este caso las superficies equipotenciales son superficies de esferas.

En la figura siguiente \begin{equation} \int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\mathbf{f}\circ d\mathbf{r}=-\int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\nabla \Phi \circ d\mathbf{r}=-\int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\left(\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} dx + \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} dy + \dfrac{\partial \Phi}{\partial z} dz \right)=-\int_{\rm{A}}^{\rm{B}}d\Phi \tag{19} \end{equation} así que

\begin{equation} \int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\mathbf{f}\circ d\mathbf{r}= \Phi_{1}-\Phi_{2} = \text{independent of the path of integration} \tag{20} \end{equation} o \begin{equation} \oint\mathbf{f}\circ d\mathbf{r}= 0 \quad \text{for every closed path of integration} \tag{21} \end{equation}

Obsérvese que las ecuaciones (17), (20), (21) son equivalentes : por ejemplo, si la integral curvilínea de un campo vectorial es cero en cualquier trayectoria cerrada entonces es el gradiente de un campo escalar y viceversa. Estas propiedades caracterizan lo que se llama campos vectoriales conservativos.

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Answer 2

La cuestión es que si $\frac{1}{2} mv^2 - GMm/r$ es constante, entonces $v$ sólo depende de $r$ ¡! Esto es sorprendente y muy útil; significa que $v$ será el mismo sin importar el camino que tome un planeta desde unos $r_1$ a $r_2$ .

En este caso, las dos trayectorias que utiliza son la órbita elíptica habitual del planeta y una trayectoria que va directa hacia el sol. No hay que preocuparse por visualizar exactamente cuáles son las trayectorias; la cuestión es que la trayectoria no importa en absoluto.

Answer 3

La trayectoria de Feynman

La trayectoria discutida por Feynman se muestra abajo en rojo para la trayectoria azul, que es una desviación hiperbólica de una pequeña partícula alrededor de una gran estrella centrada en $(0, 0)$ .

Discusión

La trayectoria de Feynman aquí tratando de responder a la pregunta: cuánto ha aumentado la velocidad entre A y B . Responde diciendo que hay una alternativa, y en muchos sentidos más sencillo trayectoria, que responde a esa pregunta.

Esta trayectoria roja comienza con una desviación inicial: la partícula $\vec v$ , que fue aproximadamente $[-3 u, u]$ para algunos $u$ en cambio, se ha desviado a aproximadamente $[0, u\sqrt{10}]$ . Así que, $v^2$ no ha cambiado, pero la dirección de $\vec v$ tiene, para que coincida con una órbita circular.

La trayectoria roja contiene entonces una órbita circular de unos 240° de longitud. Esta órbita es no una trayectoria física, en el sentido de que la gravedad te la proporciona: como se ha comentado, se trata de una trayectoria hiperbólica, lo que significa $v$ es mayor que la velocidad de escape de la estrella. Por lo tanto, la partícula sólo puede mantenerse en esta órbita si es arrastrada hacia la estrella, quizás por una cuerda muy fuerte o una pista de montaña rusa muy masiva, o un motor de cohete cuidadosamente ajustado. Sea lo que sea, proporciona la fuerza extra necesaria para mantener la partícula en esta órbita, sin acelerar ni ralentizar la partícula. Esto parece muy complicado. Pero es "sencillo" en el sentido de que la velocidad $v$ de la partícula se mantiene constante, no cambia, y sólo cambia el ángulo de la partícula respecto a la estrella.

Después de esta órbita circular, el punto B se encuentra directamente entre la partícula y la estrella. La velocidad de la partícula vuelve a cambiar de dirección sin cambiar de magnitud. Ahora apunta directamente hacia la estrella, y la partícula cae, con esta velocidad inicial, directamente sobre el punto B. Éste es el único lugar en el que la partícula se acelera, y también es una trayectoria de caída muy simple. El "meollo" de lo que dice Feynman es que el aumento de la velocidad durante esta trayectoria abstracta en caída es exactamente el mismo que el aumento de la velocidad de la trayectoria física que la partícula toma realmente.

Finalmente, la velocidad cambia de dirección a algo casi paralelo a $-\hat y$ para que coincida con la dirección de la velocidad que tiene la partícula en B. La partícula puede ahora seguir exactamente la misma trayectoria hiperbólica alejándose de la estrella, ya que tiene la misma posición y velocidad que le habría dado la trayectoria física.

Así que Feynman está diciendo que hay una trayectoria de dos partes que da la misma velocidad, en la que un arco con "algún radio especial" (que es la distancia de la estrella a A, el "radio inicial" en coordenadas polares) se utiliza para caer hasta "el radio de interés" (la distancia de la estrella a B). La diferencia de energía cinética entre ambas trayectorias es la misma, por lo que si las velocidades iniciales en las dos trayectorias diferentes son las mismas, las velocidades finales también deben ser iguales. Esta es una propiedad general de cualquier "ley de fuerza conservadora".

Answer 4

Esto es lo que creo que quiere decir: primero tenemos un planeta girando alrededor del sol en alguna órbita, luego cambiamos la dirección de la velocidad para que vaya radialmente hacia fuera, por ejemplo dejando que el planeta entre en alguna tubería que pongamos en su camino (fíjate que un planeta normal nunca haría esto, porque no hay grandes tuberías en el espacio y además habría bastante fricción). Entonces dejamos el planeta solo, y como puedes imaginar se desacelerará, y alcanzará la velocidad cero en algún radio especial. Luego, al caer el planeta de nuevo hacia dentro, se acelera y en algún momento cruzará el punto de la órbita original donde estaba la tubería (hemos retirado rápidamente la tubería). Como ahora estamos de nuevo en la misma posición en la que empezamos la velocidad tiene que ser la misma.