Demostrar que $\frac{1}{\sin t} - \frac{1}{t}$ es el aumento en $(0,\pi/2)$.

Question

Me gustaría obtener una rigurosa prueba del hecho de que $$ \frac{1}{\sen t} - \frac{1}{t} $$ es cada vez mayor en $(0,\pi/2)$. He intentado hacer lo de costumbre, tomando la derivada y ver si es positivo, sin embargo, esto me llevó a ninguna parte iluminadora. Posiblemente relacionado con el hecho de que $\sin x \leq x$ todos los $0 \leq x \leq \pi/2$? Esta no es una tarea problema, así que no me importaría una solución completa. Gracias de antemano!

Answer 1

Tomando la derivada, se desea mostrar que

$$ \frac{ - \cos t } { \sin^2 t } + \frac{1}{t^2 } \geq 0 \Leftrightarrow \tan t \sin t \geq t^2 $$

Hay muchas maneras de demostrar esta, como en esta otra pregunta.

Answer 2

$$ \text{derivados} = \frac{-\cos t}{\sin^2 t} + \frac{1}{t^2} =\frac{-t^2\cos t + \sin^2 t}{\text{algo positivo}} $$ $$ \text{numerador} = -t^2\left(1 - \frac{t^2}{2}+\text{alto grado}\right) + \left(t^2 - \frac{t^4}3 + \text{alto grado}\right) $$ $$ = \frac{t^4}{12} + \text{alto grado} $$

Esto demuestra, al menos, que la derivada es positiva si $t$ es lo suficientemente cerca como para $0$. Para obtener todo el camino hasta el $\pi/2$ va a tener más trabajo. Mostrando que la segunda derivada es positiva la voluntad de hacerlo.

Answer 3

De todas las desigualdades están destinados a ser tomada $(0,\pi/2)$. Las desigualdades que involucran polinomios de Taylor puede ser comprobada mediante el resto que es ya sea positivo o negativo en $(0,\pi/2)$.

Tenga en cuenta que podemos probar la $$\left(\frac{\sin t}t\right)^2>\cos t$$

Utilizamos $1-\dfrac {t^2}2+\dfrac {t^4}{24}>\cos t$, por lo que intentamos demostrar $${\left( {\frac{{\sin t}}{t}} \right)^2} > 1 - \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^4}}}{{24}}$$ Esto es equivalente a mostrar $${\sin ^2}t > {t^2} - \frac{{{t^4}}}{2} + \frac{{{t^6}}}{{24}}$$ But $$\sin^2 t> t^2- \frac{t^4} 3$$

Entonces tenemos que mostrar $${t^2} - \frac{{{t^4}}}{3} > {t^2} - \frac{{{t^4}}}{2} + \frac{{{t^6}}}{{24}}$$ or what is the same $$\frac{{{t^4}}}{6} > \frac{{{t^6}}}{24}$$

ser positivo en $(0,\pi/2)$. Y esto es cierto.

Answer 4

Usted puede utilizar Maple para examinar la reclamación de la corrección también.

[> f:=t->1/sin(t)-1/t:
[> solve(diff(f(t),t)>0,t);

       RealRange(Open(-Pi), Open(0)), RealRange(Open(0), Open(Pi))