Probar que los axiomas de la suma mantenga en $R$ -- Asociatividad. Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin.

Question

Estoy estudiando la prueba de teorema 1.19 desde Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin (público copia en línea aquí).

Existe un orden de campo $R$ que tiene la menor--límite superior de la propiedad.

Por otra parte, $R$ contiene $Q$ como un subcampo.

La larga prueba de este teorema se encuentra en el apéndice del capítulo 1 en la página 17.

Estoy atascado en el Paso 4:

Si $\alpha \in R$ $\beta \in R$ definimos $\alpha + \beta$ a ser el conjunto de todas las sumas $r + s$ donde$r \in \alpha$$s \in \beta$.

Definimos $0^*$ a ser el conjunto de todos los números racionales negativos. Está claro que $0^*$ es un corte. Podemos comprobar que los axiomas de la adición (véase la Definición 1.12) mantener en $R$, $0^*$ jugando el papel de $0$.

Específicamente, el autor no demuestra la asociatividad (A3):

(A3) Como en el anterior, esto se deduce de la ley asociativa en $Q$.

Realmente no entiendo lo que el autor está diciendo aquí; tampoco estoy seguro de cómo demostrar a mí mismo (lo he intentado).

Definición 1.12:

(A3) la Adición es asociativa: $(x + y) + z = x + (y + z)$ todos los $x, y, z \in F$.

La única razón por la que los estudiantes, como yo, comprar los libros de texto es que estos conceptos principales de la explicación, que Rudin por cualquier razón, se decidió no hacer. Les agradecería mucho si la gente podría, por favor tómese el tiempo para llenar este vacío mediante la demostración de la propiedad asociativa.

Answer 1

Para $x, y, z \in R$, los cuales son 3 cortes de $Q$, usted tiene que demostrar que: $$(x+y)+z = z+(y+z).$$

¿Qué es un elemento de la corte de $(x+y)+z$? Es la suma de un elemento $p + s$ donde$p \in x+y$$s \in z$. Y el elemento $p$ puede ser escrito (por la definición de la corte de $x+y$) $q+r$ donde$q \in x$$r \in y$.

Por lo tanto, un elemento de $(x+y)+z$ es tener la forma $(q+r) + s$ donde $(q,r,s) \in (x,y,z)$. Ahora, usted puede usar la propiedad asociativa de la adición en $Q$ decir que $(q+r)+s = q+(r+s) \in x+(y+z)$. Hemos demostrado que: $$(x+y)+z \subseteq x+(y+z)$$.

Usted puede probar de una manera similar a la inversa de inclusión que lleva a la conclusión.

Answer 2

Como se discute en los comentarios mathcounterexamples.net's respuesta, parece ser que hay errores?

Creo que una correcta prueba es como sigue:

Queremos mostrar que $(x + y) + z = x + (y + z)$.

Deje $p \in x + y$. A continuación, $p = r + s$ donde $r \in x, s \in y$.

Deje $c \in z$.

$\therefore (x + y) + z = (r + s) + c$

$(r + s) + c = r + (s + c) \in x + (y + z)$

$\therefore (x + y) + z \subset x + (y + z)$