Finitely módulo generado más de $\mathbb{Q}$.

Question

Considere el siguiente problema.

Problema: Supongamos $M$ es un módulo más de $\mathbb{Q}[x]$ tal que $M$ es finitely generado más de $\mathbb{Q}$. Demostrar que hay un no-cero del polinomio $p(x) \in \mathbb{Q}[x]$ y un valor distinto de cero $m \in M$ tal que $p(x)*m = 0$.

Mi intento: Desde $M$ es finitely generado más de un campo, $M \simeq \mathbb{Q}^n$ $\mathbb{Q}$- módulo. Si $M$ es de torsión libre de más de $\mathbb{Q}[x]$, $M \simeq \mathbb{Q}[x]^m$ $\mathbb{Q}[x]$- módulos. Ahora la restricción de la acción de a $\mathbb{Q}$ nuevo, obtenemos $\mathbb{Q}^n \simeq \mathbb{Q}[x]^m$ $\mathbb{Q}$- módulos. En este punto, creo que esto es absurdo, pero no puedo explicar por qué.

Mi pregunta: Es el anterior razonamiento correcto? ¿Cómo puedo finalizar la discusión? Si no, ¿cuál sería la manera correcta de demostrar esto?

Gracias.

Answer 1

$m, xm, x^2m,...$ no pueden ser linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$. por lo tanto para cada $m\in M$ no es un porcentaje ( $p_m(x)\in\mathbb{Q}[x]$ $p_m(x)m=0$

Answer 2

Una variación en su intento y otros comentarios: el mapa de $\mathbb Q[x]$ $\mathbb Q$- lineal endomorphisms de $M$ debe tener un no-trivial de kernel, ya que $M$ es finito-dimensional como $\mathbb Q$-módulo de e $\mathbb Q[x]$ no lo es. El núcleo es, pues, un no-cero ideal en el PID $\mathbb Q[x]$, generado por el polinomio mínimo de a $x$ actuando en $M$.

(Aunque es interesante para entender de Cayley-Hamilton y el polinomio característico, creo que también es útil para entender el mínimo poli.)

Edit: En respuesta a la observación, el mapa estoy pensando sólo envía $x$ a la mapa $m\to x\cdot m$$m\in M$.

Answer 3

Usted puede construir sobre lo que ya se escribió para terminar:

Aunque no se indique explícitamente, que se debe exigir que los $M \neq 0,$ de lo contrario, no contiene distinto de cero elementos $m$ a todos.

Pero si $M \neq 0$$M = \mathbb Q[x]^m$,$m \geq 1$, y por lo $M$ contiene un coyp de $\mathbb Q[x]$. Ahora pensando, como usted sugiere, más de $\mathbb Q$, usted tiene una inclusión de $\mathbb Q$-espacios vectoriales $\mathbb Q[x] \subset \mathbb Q^n$. Es esto posible?

[Esta es una variante menor del razonamiento sugerido por Jack Schmidt en sus comentarios.]

---

Por cierto, esto no sólo es cierto que $M$ no está de torsión libre; de hecho, si $M$ es finito-dimensional sobre $\mathbb Q$ será de torsión sobre $\mathbb Q[x]$. El mismo argumento como el anterior es prueba de esto (si $M$ no está de torsión, que contiene una copia de $\mathbb Q[x]$), así como los argumentos de las otras respuestas.