Eventos independientes y Dependientes eventos

Question

Tengo una pregunta con respecto a estas sorprendentemente similares problemas con soluciones contradictorias. Esto es un poco largo, así que a preparar

Probblem 1

Considere la posibilidad de una bolsa de diez monedas, nueve son justos, pero uno es ponderado con ambos lados de la cabeza. Se selecciona aleatoriamente una moneda y tirar cinco veces. Deje $2s$ denotar el caso de seleccionar la ponderación de la moneda (que es la 2 cara de la moneda) y $N$ ser incluso seleccionar un regular la moneda y $5H$ ser el caso de recibir cinco cabezas en una fila. ¿Qué es

a) $P(5H | 2s)$

b) $P(5H | N)$

c) $P(5H)$

d) $P(2s | 5H)$

Solución 1

a) Simplemente 1

b) $\frac{1}{2^5}$

c) $\frac{1}{2^5}\frac{9}{10}+ \frac{1}{10} = \frac{41}{320}$

d) $P(2s|5H) = \dfrac{P(5H|2s)P(2s)}{P(5H)} = \frac{32}{41}$

A partir de la Solución 1, parece que $P(2s|5H) \neq P(2s)P(5H)$ Que es el evento de la elección de los ponderado de la moneda afecta a la probabilidad de obtener 5H.

Aquí es parte de mi pregunta, ¿no hay también algunos pequeños probabilidad de obtener 5H de escoger el normal? No tiene sentido ¿por qué los eventos de elegir la moneda y llegar 5H es dependiente. Leer en la siguiente pregunta

Problema 2

Una prueba de diagnóstico para una enfermedad de los ojos es de un 88% de precisión de la hora y el 2,4% de la población tiene la enfermedad. Deje $ED$ ser el evento de tener la enfermedad de los ojos y $p$ ser el caso de un resultado positivo. Encontrar la probabilidad de que

a) el paciente tiene un resultado positivo

b) el paciente tiene la enfermedad y las pruebas positivas

Solución 2

Aquí está un diagrama de árbol

a) $0.02122 + 0.011712 = 0.13824$

b) $P(ED | p) = \dfrac{P(\text{ED and p})}{P(p)} =\frac{0.02122}{0.13824 }= 0.1535$

A partir de la Solución 2, se ve como $P(\text{ED and p}) = P(\text{ED})P(p)$, lo que significa que el tener la enfermedad de los ojos y las pruebas positivas son eventos independientes? Después de probar la misma fórmula del Problema 1, también parece que

$$P(\text{ED | p}) = \dfrac{P(\text{ED and p})}{P(p)} = \dfrac{P(\text{p | ED})P(ED)}{P(p)} = 0.1535$$

También, cuando la pregunta se le pide a "el paciente tiene la enfermedad y las pruebas positivas", ¿cómo sé que es $P(ED | p)$ e no $P(p | ED)$?

Estoy muy confundido, en general, con este. Podría alguien aclarar para mí? Gracias

Answer 1

Los cálculos para el primer problema son los correctos. De curso $P(2s|5H) \neq P(2s)P(5H)$. La expresión correcta es $P(2s|5H) = P(2s\cap H)/P(5H)$. Y, ciertamente, $2S$ $5H$ no son independientes, ya sea en el nivel informal o en el nivel técnico.

"Tiene la enfermedad y las pruebas positivas" significa exactamente lo que dice. No es una probabilidad condicional. En símbolos, es $P(ED \cap p)$. Si la probabilidad condicional se busca, idioma diferente, deben ser utilizados.

Es fácil de calcular. De hecho, se calcula que en el camino a la búsqueda de $P(p)$. En símbolos, es $P(p|ED)P(ED)$.

La probabilidad condicional de a $P(ED|p)$ también es sencillo de encontrar. Por nota de que, en general,$P(A|B)P(B)=P(A\cap B)$. Usted sabe $P(ED \cap p)$, y usted sabe $P(p)$, de modo que, por la división, usted puede encontrar $P(ED|p)$.

Añadido: En la línea de las notas que dio un enlace para la parte c) se lee "Determinar la probabilidad de que el paciente tiene la enfermedad de los ojos y las pruebas positivas". La solución, a continuación, se procede a determinar (correctamente) la probabilidad de que el paciente tiene la enfermedad de los ojos , dado que ella sea positivo. (Parte d) tiene un error similar.)

¿Qué tiene uno que hacer con esto? Uno podría ser generosos y llamar a un error tipográfico. OK, dos errores tipográficos.

Answer 2

A partir de la Solución 1, parece que $P(2s|5H) \ne P(2s)P(5H)$ Que es el evento de la elección de los ponderado de la moneda afecta a la probabilidad de obtener 5H.

Aquí es parte de mi pregunta, ¿no hay también algunos pequeños probabilidad de contraer $5H$ procede de la recolección de la normal? No tiene sentido ¿por qué los eventos de elegir la moneda y consiguiendo $5H$ es dependiente.

El hecho de que hay algunos pequeños probabilidad de contraer $5H$ desde la recogida de la moneda normal es exactamente la razón por la que el evento $5H$ es la persona a cargo en el caso de $2s$. En otras palabras, la probabilidad de obtener cinco cabezas depende de la moneda que usted elija.

También, cuando la pregunta se le pide a "el paciente tiene la enfermedad y las pruebas positivas", ¿cómo sé que es $P(ED|p)$ e no $P(p|ED)$ ?

Leí $P(ED|p)$ como "la probabilidad de que el paciente tiene la enfermedad de los ojos, dado que la prueba es positiva. Por otro lado, leí $P(p|ED)$ como "la probabilidad de que la prueba es positiva, dado que el paciente tiene la enfermedad de los ojos."

En términos prácticos, sin embargo, que el paciente quiere saber la antigua. Es decir, cuando voy a buscar una prueba de que el médico y se vuelve positivo, me gustaría saber cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba es precisa. Creo que esto es lo que la tarea de la pregunta está pidiendo a encontrar.