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Función generadora de la serie de Dirichlet, función generadora ordinaria

En parte me estoy repitiendo.

La secuencia $a_n$ generada por la función generadora de la serie de Dirichlet: $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$

correspondiente a $\zeta(s)^m$

parece tener la función generadora ordinaria:

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_nx^n = x + {m \choose 1}\sum \limits_{a=2}^{\infty} x^{a} + {m \choose 2}\sum \limits_{a=2}^{\infty} \sum \limits_{b=2}^{\infty} x^{ab} + {m \choose 3}\sum \limits_{a=2}^{\infty} \sum \limits_{b=2}^{\infty} \sum \limits_{c=2}^{\infty} x^{abc} + {m \choose 4}\sum \limits_{a=2}^{\infty} \sum \limits_{b=2}^{\infty} \sum \limits_{c=2}^{\infty} \sum \limits_{d=2}^{\infty} x^{abcd} +...$

¿Es este un resultado verdadero?

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Eric Naslund Puntos 50150

Sí, es cierto.

Desde $$a_{n}=\sum_{i_{!}\cdot i_{2}\cdots i_{m}=n}1$$ podemos simplemente dividir en una suma basada en el número de $i_j=1$ . Si $i_j=1$ para $m-1$ diferentes $j$ entonces obtenemos el primer término, donde el $\binom{m}{1}$ viene del hecho de que hay $m$ opciones de diferencia para el $i_j\neq 1$ . Del mismo modo, si tenemos $i_j=1$ para $m-2$ índices, etc.

Alternativamente, $a_n$ es el número de puntos enteros que se encuentran en la curva hiperbólica $x_1 \cdot x_2 \cdots x_m=n.$ La suma que escribes arriba cuenta los puntos enteros dividiéndolos por la dimensión que viven. Piensa en el punto $(1,1,\dots,1)$ como el origen. Entonces el primer término $x$ cuenta el punto de la dimensión 0 $(1,1,\dots,1)$ que sólo cuenta con $n=1$ . El segundo término cuenta el número de puntos enteros que intersecan los ejes y la curva, el tercer término cuenta el número de puntos enteros que se encuentran tanto en un plano bidimensional abarcado por dos ejes, como en la curva, etc. Las sumas comienzan en 2 y no en 1 para que ningún punto se cuente doblemente de esta manera.

Espero que eso ayude,

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