$f$ es holomorphic en $\Omega$ tal que $|f|$ es armónica; debemos demostrar que $f$ es constante.

Question

$f$ es holomorphic en $\Omega$ tal que $|f|$ es armónica; debemos demostrar que $f$ es constante.

Vamos

$$f=u(x,y)+iv(x,y)\Rightarrow |f|=\sqrt{u^2+v^2}\quad \rm{and}\quad \nabla^2|f|=0$$ a la derecha?

También he a $u_x=v_y, v_x = -u_y$

$$\nabla^2 = {\partial^2\over \partial x^2}+{\partial^2\over \partial y^2},$$

así que como $ \nabla^2|f|=0 $ tenemos

$$ u_{xx}+u_{yy}+v_{xx}+v_{yy}=0 $$

Así que ahora podría cualquiera me muestran cómo proceder?

Answer 1

Trata de completar la prueba de uso de los siguientes consejos:

1) Si $f$ es distinto de cero en un barrio de la $U$ $\log f$ existe.

2) $\log|f|$ es armónico.

3) Si $g$ es un armónico de la función tal que $\log|g|$ también es armónico, a continuación, $g$ es constante.

4) $f$ holomorphic y $|f|$ constante en un barrio implica $f$ es constante.