Este artículo http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/does-123-really-equal-112/ me puso a pensar acerca de la "identidad"
$$1 + 2 + 3 + \cdots = -1/12,$$
y yo quería convencerme de que no había nada particularmente especial sobre esta identidad o la de Riemann zeta de la construcción. Más precisamente, esta identidad en realidad sólo tiene sentido si se piensa en un número entero $n$ como la especialización en $z=-1$ de la función de $n^{-z}$. Así que he aquí una pregunta:
Para cualquier número complejo a$c$, ¿existe un dominio de $\Omega \subset \mathbb{C}$, y las funciones analíticas $F(n, s)_{n\in\mathbb{N}}$$f(s)$$\Omega$, de tal manera que el siguiente mantenga
yo. $F(n,0) = n$
ii. $\sum_{n=1}^\infty F(n,s) = f(s)$ $\Omega$ en algún sentido razonable (tal vez converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\Omega$?)
iii. $f$ puede ser extendido holomorphically para algunas dominio que contiene tanto $\Omega$ $0$ tal que $f(0) = c$.
Así que cambio de Euler de la serie y de Riemann zeta sería una construcción para $c=-1/12$. Como la pregunta stands, creo que la respuesta es casi seguro que sí, aunque para ser justos las funciones $n^{-s}$ tienen una gran estructura de "holomorphic funciones en algunas de dominio". Para un seguimiento de la pregunta sería: ¿hay "natural" restricciones adicionales para que la respuesta a esta pregunta es No?
Pido disculpas de que esta es un tipo de composición abierta, pero el objetivo es convencer a mí mismo que no hay nada particularmente canónica acerca de $-1/12$ (o para escuchar una explicación de por qué es canónico).
