haz de discos asociado a un haz de esferas sobre $S^4$

Question

Se nos da una $R^4$ paquete $\xi$ en $S^4$ cuyo espacio total es E, y sabemos que el haz de esferas asociado es la fibración de Hopf $S^3 \rightarrow S^7 \rightarrow S^4$ . ¿Cómo podemos demostrar que el espacio total E' del haz de discos asociado es $HP^2-$ ¿una célula 8 abierta?

Sé que el espacio Thom $T$ de $\xi$ se obtiene de $E'$ pegando un cono sobre $\partial E'\approx S^7$ y la descomposición celular de $T$ es el mismo que el de $HP^2$ . Pero no puedo combinar estos ..

Answer 1

Definir un $\mathbb{H}$ -Asamblea $$\mathbb{H} \hookrightarrow \mathbb{H}P^2 - \{[0:0:1]\} \xrightarrow{~\pi~} \mathbb{H}P^2,$$ $$\pi([u:v:w]) = [u:v] \in \mathbb{H}P^1$$ de la siguiente manera. $\mathbb{H}P^1$ se descompone como la unión de dos discos $$D_1 = \{[u:1] : \|u\| \leq 1\},$$ $$D_2 = \{[1:v] : \|v\| \leq 1\}$$ pegados a lo largo de su frontera común a través del mapa $[u:1] \mapsto [1:u^{-1}]$ . Entonces tomemos las trivializaciones locales de nuestro haz como $$\psi_1: D_1 \times \mathbb{H} \longrightarrow \pi^{-1}(D_1),$$ $$\psi_1([u:1],w) = [u:1:w],$$ $$\psi_2: D_2 \times \mathbb{H} \longrightarrow \pi^{-1}(D_2),$$ $$\psi_2([1:v],w) = [1:v:w].$$ Realización de las identificaciones $\mathbb{H} \cong \mathbb{R}^4$ y $\mathbb{H}P^1 \cong S^4$ Esto define un $\mathbb{R}^4$ -Acabar con el paquete $S^4$ . La función de transición en el ecuador $S^3$ es $$\psi_2^{-1} \psi_1([u:1],w) = \psi_2^{-1}([u:1:w]) = \psi_2^{-1}([1:u^{-1}:u^{-1}w]) = ([1:v],vw).$$

Ahora desde el espacio total $\mathbb{H}P^2 - \{[0:0:1]\}$ de nuestro bulto, eliminar el $8$ -disco $$D = \{[u:v:1] : \|u\|^2 + \|v\|^2 < 1\}$$ centrado en $[0:0:1]$ . Para cada $[u:v] \in \mathbb{H}P^1$ esto restringe la fibra sobre $[u:v]$ a $$\{[u:v:w] : \|w\|^2 \leq \|u\|^2 + \|v\|^2\} \cong D^4.$$ Por lo tanto, tenemos un paquete de discos $$D^4 \hookrightarrow \mathbb{H}P^2 - D \xrightarrow{~\pi~} S^4$$ con función de transición $$\psi_2^{-1} \psi_1([u:1], w) = ([1:v], vw) \tag{$\ast$}$$ en el ecuador $S^3$ .

$S^3$ -bundles over $S^4$ se clasifican por elementos de $$\pi_3(\mathrm{SO}(4)) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}.$$ Un isomorfismo explícito identifica el par $(h,j) \in \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ con el $S^3$ -Acabar con el paquete $S^4$ con función de transición $$f_{hj}: S^3 \longrightarrow \mathrm{SO}(4),$$ $$f_{hj}(u) \cdot v = u^h v u^j$$ en el ecuador $S^3$ donde aquí consideramos $u \in S^3$ y $v \in \mathbb{R}^4$ como cuaterniones, es decir la expresión $u^h v u^j$ se entiende como multiplicación de cuaterniones. En $(\ast)$ vemos que el haz $$D^4 \hookrightarrow \mathbb{H}P^2 - D \xrightarrow{~\pi~} S^4$$ tiene la función de transición $f_{10}$ . Se puede comprobar fácilmente que el haz de Hopf $$S^3 \hookrightarrow S^7 \longrightarrow S^4$$ tiene función de transición $f_{10}$ también, así que por la identificación anterior de $S^3$ -bundles over $S^4$ su haz de discos asociado debe ser isomorfo a $$D^4 \hookrightarrow \mathbb{H}P^2 - D \xrightarrow{~\pi~} S^4.$$ Por tanto, el espacio total del haz de discos asociado al haz de Hopf sobre $S^4$ es $\mathbb{H}P^2$ con un $8$ -Disco eliminado.