Convergencia de la serie $\sum \frac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}}$

Question

Demostrar que la naturaleza de la siguiente serie : $$\sum \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}}$$ que utilizan en el manual de soluciones :

Mis preguntas:

1. No sé cómo conseguir ( * ) ¿alguien podría completar mis intentos de ( * ) y es correcto si uso (**) para demostrar que la serie es convergente :

$$\fbox{$ \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}}=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}}-\dfrac{(-1)^{n}}{n}+O\left(\dfrac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\right) $}\quad (*)$$

Mis pensamientos :

\begin{align} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}} &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \left( 1+\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \right) \right)^{-1} \end{align}

nota que : $$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+O(x^{2})$$

\begin{align} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}} &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \left( 1+\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \right) \right)^{-1}\\ &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \left( 1-\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \right)+O\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \right)^{2} \right)\\ &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} -\dfrac{(-1)^{n}}{n}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{4}{3}}} +\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}}\times O\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \right)^{2} \\ &=\ldots\ldots \\ &= \mbox{ I'm stuc here i hope someone complete my attempts } \end{align} O debería usar :

nota que : $$(1+x)^{\alpha}=1+O(x)$$

\begin{align} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}} &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \left( 1+\left(\dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \right) \right)^{-1}\\ &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}} \left( 1+O\left( \dfrac{1}{n^{\frac{1}{3}}}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}}\right) \right)\\ &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}}+O\left( \dfrac{1}{n}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{4}{3}}}\right) \\ &=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}}+O\left( \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{4}{3}}}\right) \\ \end{align} $$\fbox{$ \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}} =\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}}+O\left( \dfrac{(-1)^{n}}{n^{\frac{4}{3}}}\right) $}\quad (**) $$

Answer 1

Arreglar $N>0 $ y $N $ incluso (también puede tomar $N $ impar, la prueba es esencialmente la misma). Tenemos $$\sum_{n=1}^{N}\frac{\left(-1\right)^{n}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+\left(-1\right)^{n}}=\sum_{n=1}^{N/2}\frac{1}{\left(2n\right)^{\frac{2}{3}}+\left(2n\right)^{\frac{1}{3}}+1}-\sum_{n=1}^{N/2-1}\frac{1}{\left(2n-1\right)^{\frac{2}{3}}+\left(2n-1\right)^{\frac{1}{3}}-1} $$ $$=\sum_{n=1}^{N/2}\frac{\left(2n-1\right)^{2/3}-\left(2n\right)^{2/3}+\sqrt[3]{2n-1}-\sqrt[3]{2n}-2}{\left(\left(2n\right)^{\frac{2}{3}}+\left(2n\right)^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(\left(2n-1\right)^{\frac{2}{3}}+\left(2n-1\right)^{\frac{1}{3}}-1\right)}-\frac{1}{\left(N-3\right)^{\frac{2}{3}}+\left(N-3\right)^{\frac{1}{3}}-1} $$ $$=\sum_{n=1}^{N}\frac{\left(-1\right)^{n}}{n^{2/3}\left(1+O\left(1\right)\right)}+\sum_{n=1}^{N}\frac{\left(-1\right)^{n}}{n\left(1+O\left(1\right)\right)}$$ $$-\sum_{n=1}^{N/2}\frac{2}{n^{4/3}\left(1+O\left(1\right)\right)}-\frac{1}{\left(N-3\right)^{\frac{2}{3}}+\left(N-3\right)^{\frac{1}{3}}-1} $$ y así la serie converge.

Answer 2

$\dfrac{1}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{1}{3}}+(-1)^{n}}-\dfrac{1}{n^{\frac{2}{3}}}+\dfrac{1}{n} = \dfrac{-n(-1)^n+n + n^{2/3}(-1)^n}{n^{5/3}(n^{2/3}+n^{1/3}+(-1)^n}$

El lado derecho tiene $n$ en el numerador y $n^{7/3}$ en el denominador y por lo tanto es $O\left(\frac{1}{n^{4/3}}\right)$

Answer 3

Dejemos que $f(n)=\frac{1}{n^{2/3}+n^{1/3}+A}$ y considerar $\phi_m(n)=n^{-m/3}$ para $m=2,3,...$ Entonces deberías buscar una expnasión asintótica para $f$ de la forma $$f(n)=\sum a_m\phi_m(n).$$ Tenemos $$a_2=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{\phi_2(n)}=1$$ y $$a_3=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)-a_2\phi_2(n)}{\phi_3(n)}=-1$$ y $$a_3=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)-a_2\phi_2(n)-a_3\phi_3(n)}{\phi_4(n)}=1-A$$ etc...

y como tal obtenemos $$f(n)=\frac{1}{n^{2/3}}-\frac1n+(1-A)\frac{1}{n^{4/3}}+O(n^{5/3})$$