Mostrando un semidirect producto del grupo es isomorfo a A4

Question

Deje $V$ ser el Klein cuatro grupos y $f : V \rightarrow V$ mapa de la identidad a sí mismo, (12)(34) (14)(23), (13)(24) (12)(34) y (14)(23) (13)(24).

Deje $C$ ser un grupo cíclico de orden 3 generado por $c$. Deje $\phi : C \rightarrow Aut(V)$ ser un grupo homomorphism tal que $\phi_c=f$. Mostrar que $V \rtimes_\phi C $ es isomorfo a $A_4$.

He demostrado que $f$ es un grupo homomorphism, $f \circ f \circ f$ es la asignación de identidad, y $f \circ f$ es similar asignación a $f$, la asignación de la identidad en sí, sino la asignación de cualquier otro elemento a lo $f$ no mapa (pero no a sí mismo). Desde $\phi_c=f$$\phi_1=id =f \circ f \circ f$, y desde $\psi$ es un grupo homomorphism, entonces me di $\phi_{c^2}=f \circ f$ a fin de mantener que homomorphism de la propiedad. El orden de $V$ es de 4 y el orden de $C$ es 3, y el orden de $A_4$ es de 12, así que tiene sentido que, al menos, los pedidos entre los dos grupos son los mismos.

Yo iba a dibujar una tabla de grupo para $A_4$ $V \rtimes_\phi C$ y, a continuación, definir un bijective asignación entre cada elemento en base a las tablas, pero para 144 combinaciones, esto es tedioso, aunque sin duda el trabajo. En cualquier caso, estoy casi seguro de que no es lo que se supone que debo aprender de este ejercicio. Hay un método más sencillo o una obvia grupo de isomorfismo entre los grupos que no estoy viendo?

Answer 1

Yo plantearía de la siguiente manera.

• Observar que $f$ tiene el mismo efecto en $V$ como se hace la conjugación por $(243)$ (comprobar esto, es tarde aquí y que yo pueda haber cometido un error).
• Así que usted debe ser capaz de construir un isomorfismo de $V\rtimes_\phi C_3$ $A_4$que es la identidad en $V$ y envía un generador de $C_3$$(243)$.

Otra forma de ver la que podría ser la construcción $A_4$ el (interno) semidirect producto de $V$$\langle(243)\rangle$. Entonces usted podría utilizar cualquier otro 3-ciclo en lugar de $(243)$, pero tendrá que estar preparado para reemplazarlo con su inversa, si la conjugación de 3 ciclo se ejecuta en la dirección opuesta.

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Añadir un poco extra. Recordemos que el grupo de operación en un semi-producto directo de $H\rtimes_\phi K$ es de $H$ $K$ sobre el individuo subgrupos junto con la regla de que la conjugación de la $H$ elemento $k\in K$ da exactamente el automorphism $\phi(k)$$H$. Esto implica lo siguiente. Para obtener un homomorphism $f:H\rtimes_\phi K\to G$ $H\rtimes_\phi K$ a un tercer grupo $G$ usted necesita:

• Especificar un homomorphism $i:H\to G$,
• especificar un homomorphism $j:K\to G$, y
• verificar que para cada una de las $k\in K$ $h\in H$ $$j(k)i(h)j(k)^{-1}=i(\phi(k)(h)).$$
• Entonces $$f(h,k)=i(h)j(k)$$ es automáticamente un homomorphism.

En el presente caso (siempre el caso cuando se han interno semi-directa del producto) el homomorphism $i$ está destinado a ser la inclusión de asignación de $V\to A_4$ y el homomorphism $j:C_3\to A_4$ fue descrito por decirle donde está el generador de $C_3$ va.