Cómo calcular la planta integral de la $\int_0^{\pi}\lfloor\pi^2\cos^3x\rfloor\sin x\,dx$?

Question

$$\int_0^{\pi}\lfloor\pi^2\cos^3x\rfloor\sin x\,dx$$ (where $\lfloor x \rfloor $ is the floor of $x$)

Pensé en romper la necesaria límites, pero es demasiado largo. Además, yo tenía que tomar el cubo de la raíz y, a continuación, $\cos$ inversa. Por favor, dar una sugerencia.

Answer 1

Desde entonces,

$$ \int_0^{2a}f(x)\,dx =\int_0^{a}\bigl(f(a+x)+f(a-x)\bigr)\,dx$$

$$ \implies\int_0^{\pi}\left\lfloor\pi^2\cos^3x\right\rfloor\sin x\,dx=\int_0^{{\pi}/{2}}\left(\left\lfloor-\pi^2\sin^3x\right\rfloor+\left\lfloor\pi^2\sin^3x\right\rfloor\right)\cos x\,dx$$

Claramente, la mayoría de los términos se cancelan.