Acerca de la función digamma

Question

Demostrar que $F(z)$ tiene la expansión en serie $\displaystyle F(z)=-\gamma + \sum_{n=2}^{\infty }(-1)^n\zeta (n)z^{n-1}$ donde $\displaystyle \zeta (n)$ es la función zeta de Riemann.

Answer 1

Comenzamos con el identidad de la función digamma

$$ \psi(z+1) = -\gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z}{n(n+z)}\quad z\neq 0,-1,-2,-3,\dots$$

lo que implica que

$$ \psi(z+1) = -\gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z}{n^2}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1} $$

$$ = -\gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z}{n^2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-z)^m}{n^m}= -\gamma + \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m {z^{m+1}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{m+2}}$$

$$ = -\gamma + \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m \zeta(m+2){z^{m+1}} $$

$$ \implies \psi(z+1) = -\gamma + \sum_{m=2}^{\infty}(-1)^m \zeta(m){z^{m-1}}. $$