Es la culminación de un conmutativa Noetherian anillo local Noetherian?

Question

Quizás para algo sencillo, pero no para mí:

Deje $(R,\mathfrak{m})$ ser un conmutativa Noetherian anillo local con ideal maximal $\mathfrak{m}$. ¿Por qué es la culminación $\widehat{R}$ $R$ con respecto al ideal maximal $\mathfrak{m}$ nuevo un Noetherian anillo?

Gracias.

Answer 1

Supongo que usted está hablando acerca de la terminación de un local Noetherian anillo de $A$ con respecto a la topología inducida por su ideal maximal $m$. A continuación, $\hat{A}$ es de nuevo Noetherian anillo local con ideal maximal $m \hat{A}$. Referencia: Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría de la p. 63.

Answer 2

Sí; si $A$ es un Noetherian anillo, y $\mathfrak a$ es un ideal de a$A$, $\mathfrak a$- ádico de la finalización de $A$ es Noetherian. Este es el Teorema 10.26 en Atiyah-MacDonald. (Me gustaría escribir la prueba aquí para usted, pero es bastante involucrados; es de esperar que, en la presente norma de referencia será suficiente!)