Una triple serie que evalúa a $ \sqrt {3}$

Question

¿Cómo me sugiere que aborde la siguiente serie triple? Me pierdo un punto de partida.

$$ \sum_ {i=- \infty }^{ \infty } \sum_ {j=- \infty }^{ \infty } \sum_ {k=- \infty }^{ \infty } (-1)^{i+j+k} \frac {1}{ \displaystyle \sqrt { \left (i- \frac {1}{6} \right )^2+ \left (j- \frac {1}{6} \right )^2+ \left (k- \frac {1}{6} \right )^2}}= \sqrt {3}$$

Answer 1

La idea principal es utilizar la transformación de Mellin y una identidad de producto Jacobi: $$ \left ( \sum_ {m \in\mathbb {Z}} (-1)^m q^{(3m^2+m)/2} \right )^3 = \sum_ {n \geq 0} (-1)^n(2n+1) q^{(n^2+n)/2}. $$ Este resultado se debe a Forrester y Glasser (1982; Algunas nuevas sumas de la red, incluyendo un resultado exacto del potencial electrostático dentro de la red de NaCl ).

Set $q=e^{-2t/3}$ para conseguir $$ \sum_ {m \in\mathbb {Z}^3} (-1)^{|m|} e^{-\|m+ \frac16\ |^2t} = \sum_ {n \geq0 }(-1)^n(2n+1)e^{- \frac13 (n+ \frac12 )^2t}, $$ donde $|m|$ es la 1-norma y $\|m\|$ es la norma 2. Si se multiplica esto por una función arbitraria $f$ cuyo Laplace transforma $ \varphi (s)$ existe para todos $s>0$ e integrarse sobre $t \in [0, \infty )$ obtienes una identidad que se mantiene para cada transformación adecuada de Laplace $ \varphi $ : $$ \sum_ {m \in\mathbb {Z}^3} (-1)^{|m|} \varphi\big (\|m+ \tfrac16\ |^2 \big ) = \sum_ {n \geq0 }(-1)^n(2n+1) \varphi\big ( \tfrac1 {3}(n+ \tfrac12 )^2 \big ). $$

En sustitución de $ \varphi (s) = s^{-1/2} e^{-a \sqrt {s}}$ y la realización de la suma de R.H.S. da $$ \sum_ {m \in\mathbb {Z}^3} \frac {(-1)^{|m|}e^{-a\|m+ \frac16\ |}}{\|m+ \frac16\ |} = \frac { \sqrt {3}}{ \cosh \frac {a}{2 \sqrt3 }}. $$ El caso $a=0$ es el que está en tu pregunta. (Da la vuelta al cartel $(i,j,k) \mapsto (-i,-j,-k)$ para obtener la señal correcta de $ \frac16 $ .)