¿Puede alguien darme una prueba elemental de este hecho?
Edición: Este es un ejercicio en el texto de Marker, justo después de que él define
$$\text{acl}(A)=\{x:x \text{ is algebraic over }A\}.$$
La pregunta y la definición completa son aquí .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, hay que tener en cuenta que si la abuela Helen sólo tiene un número finito de hijos, y cada uno de esos hijos sólo tiene un número finito de hijos, entonces la abuela Helen sólo tiene un número finito de nietos.
Para el problema, sin embargo, existe la sutileza de que tal vez algunos, pero no todos los hijos de Helena, sólo tienen un número finito de hijos. Pero todavía se puede utilizar la misma idea: Si la abuela Helen tiene sólo finitamente muchos hijos, y uno de esos hijos tiene a lo sumo 10 hijos (tal vez algunos otros tienen infinitamente muchos), entonces la colección de nietos de Helen cuyos padres tienen a lo sumo 10 hijos es finita.
Esos nietos (cuyos padres tienen como máximo 10 hijos) satisfacen una propiedad expresable de primer orden, con Helen como parámetro, que sólo satisfacen otras personas de forma finita.
