¿La invariancia de Lorentz de la ecuación de movimiento de la garantía de la invariancia de Lorentz de las soluciones?

Question

Si tengo un invariante de Lorentz ecuación de movimiento, como el de Klein-Gordon ecuación, es la solución garantizada para ser invariante de Lorentz?

Hago esta pregunta porque de la discusión de la Marca Srednicki de la Teoría Cuántica de los campos de la sección 3 de las ecuaciones (3.11) (3.14). Si tengo un K-G de la ecuación, $$ \tag 1 \partial^\mu\partial_\mu\phi -m^2\phi=0,$$ tenemos una solución de la forma $$ \tag 2\exp (i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \pm i\omega t),$$ que yo no creo que sea invariante de Lorentz para la solución con $i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} + i\omega t$ como argumento, a menos que nos permitir $k^\mu = (-\omega, \mathbf{k})$.

Sin embargo, él se inicia la construcción de un invariante de Lorentz solución, y viene con $$ \tag 3 \phi(\mathbf{x},t) = \int d\tilde{k}[ a(\mathbf{k})e^{ikx} + a^*(\mathbf{k})e^{-ikx}],$$ donde $kx = \mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t$. $d\tilde{k}$ es un invariante de Lorentz medida y el argumento de cada uno de los exponentes son invariantes de Lorentz así.

Sin embargo, él dice que en el principio de que $a(\mathbf{k})$ es una función arbitraria del vector de onda $\mathbf{k}$, lo que no suena invariante de Lorentz para mí. Así que no estoy seguro de cómo $\phi(\mathbf{x},t)$ es invariante Lorentz.

Answer 1

En el espíritu de la original del post, vamos a $k,x$ 4-vectores y $\mathbf{k}$, $\mathbf{x}$ los componentes espaciales. A continuación, una cantidad del formulario $$\phi(x) \propto \int dk[ a(k)e^{ikx} + a^*(k)e^{-ikx}]$$ es manifiestamente invariante de Lorentz, porque no explícita contener los índices de Lorentz. Lo Srednicki hace es que se realiza la $k^0$ integración, lo que resulta en $$\phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{d\mathbf{k}}{f(\mathbf{k})}[ a(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} + a^*(\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}],$$ que sólo incluye componentes espaciales. Esta expresión es invariante Lorentz porque es simplemente una forma diferente de la anterior, pero no manifiestamente aspecto invariante de Lorentz que asumo que lo que causa confusión. De una forma explícita de la función de $f$, lo que por supuesto va a estar relacionado con la energía, como es la integral sobre la $k^0$, véase, por ejemplo, Peskin y Schroeder eqn (2.47).

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EDIT: algo más de la justificación:

El de Klein-Gordon eqn es $$\partial^\mu\partial_\mu\phi -m^2\phi=0.$$ Para resolver esto, tenemos la transformada de Fourier para el impulso de espacio y obtenemos: $$(p^\mu p_\mu -m^2)\tilde\phi=0.$$ La solución general de esta eqn es $$\tilde\phi(p)=a(p)\delta(p^\mu p_\mu -m^2),$$ lo que significa que la solución general para la de Klein-Gordon es: $$\phi(x)=\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4pe^{ipx}\tilde\phi(p)=\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4pe^{ipx}a(p)\delta(p^\mu p_\mu -m^2)$$ que es manifiestamente invariante de Lorentz. Usted puede realizar el $p^0$ integración como se afirmó anteriormente. Me han ignorado el complejo conjugado plazo en todas partes, pero debe ser trivial para restaurar...