Demostrar que el determinante es $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Question

Tengo el determinante :

\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ a &b &c \\ a^3 &b^3 &c^3 \\ \end{vmatrix}

Cómo puedo demostrar que este determinante es igual a

$$ (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) $$

Answer 1

SUGERENCIA

En estas preguntas, nuestro principal objetivo es crear 2 ceros en una fila o columna, si es posible, a lo largo de la cual podemos expandir el factor determinante.

Answer 2

Ampliar esta

$$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ a &b &c \\ a^3 &b^3 &c^3 \\ \end{vmatrix}$$

para una ampliación de la expresión polinómica. Ahora ampliar esta $$ (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) $$ para una ampliación de la expresión polinómica.

Ahora compruebe que ambos son iguales.

Answer 3

SUGERENCIA:

Uso $$C_1'=C_1-C_3$$ and $$C_2'=C_2-C_3$$

donde $C_r$ $r$ésima columna, $C_r'$ es la resultante de la $r$ésima columna

Ver también: Factorise el determinante $\det\Bigl(\begin{smallmatrix} a^3+a^2 & a & 1 \\ b^3+b^2 & b & 1 \\ c^3+c^2 & c &1\end{smallmatrix}\Bigr)$

Answer 4

Voy a empezar desde donde se terminó en los comentarios:

$$bc^3-cb^3-(ac^3-ca^3)+ab^3-ba^3$$ $$bc^3-cb^3-ac^3+ca^3+ab^3-ba^3$$

Ahora, tenemos que el factor de dicho polinomio. Podemos hacer esto mediante el intento de un grupo de ciertos términos juntos y encontrar patrones.

• Hay dos $a^3$ términos: $ca^3-ba^3$. Esto puede ser un factor en el $a^3(c-b)=-a^3(b-c)$
• Hay dos $a$ términos: $ab^3-ac^3$. Esto puede ser un factor en el $a(b^3-c^3)=a(b-c)(b^2+cb+c^2)$
• Hay dos términos sin un $a$: $bc^3-cb^3$. Esto puede ser un factor en el $bc(c^2-b^2)=bc(c+b)(c-b)=-cb(b+c)(b-c)$

Por lo tanto, podemos tener un $b-c$ de todos los términos, lo que nos da:

$$(b-c)(-a^3+a(b^2+cb+c^2)-cb(b-c))=(b-c)(ab^2+abc+ac^2-cb^2-c^2b-a^3)$$

Ahora, vamos a intentar hacer lo que hicimos antes, excepto que ahora con $b$ en lugar de $a$.

• Hay dos $b^2$ términos: $ab^2-cb^2$. Esto puede ser un factor en el $b^2(a-c)=-b^2(c-a)$.
• Hay dos $b$ términos: $abc-c^2b$. Esto puede ser un factor en el $bc(a-c)=-bc(c-a)$.
• Hay dos términos sin un $b$: $ac^2-a^3$. Esto puede ser un factor en el $a(c^2-a^2)=a(c+a)(c-a)$.

Por lo tanto, podemos tener un $c-a$, lo que nos da:

$$(b-c)(c-a)(-b^2-bc+a(c+a))=(b-c)(c-a)(ac+a^2-b^2-bc)$$

Ahora, podemos hacer lo mismo que hicimos antes, pero con $c$:

• Hay dos $c$ términos: $ac-bc$. Esto puede ser un factor en el $c(a-b)$.
• Hay dos términos sin un $c$: $a^2-b^2$. Esto puede ser un factor en el $(a+b)(a-b)$.

Por lo tanto, podemos tener un $a-b$, lo que nos da:

$$(a-b)(b-c)(c-a)(c+a+b)=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$$

Answer 5

Sugerencia: $a^3 -b^3$ $=$ $(a-b)(a^2 + +ab + b^2)$

Restar la columna de $1$ de columna $2$ y, a continuación, la columna de $2$ de columna $3$.