Finito abelian $2$-grupo

Question

Si $G$ es de un número finito de abelian grupo tal que $o(x)=2$ todos los $x \neq e$ $|G|=2^n$ algunos $n\in\mathbb N$, demostrar que $G \cong \mathbb{Z}_2\times\cdots\times\mathbb{Z}_2$ ($n$ los factores).

Cualquier ayuda es muy apreciada. Hice esta pregunta antes y se sugirió a tratar de inducción, pero no he sido capaz de escribir el inductivo prueba correctamente. Si alguien puede ayudar a que va a ser muy agradable. Gracias!

Answer 1

Si usted escribe $G$ en notación aditiva, es bastante fácil de comprobar que se puede hacer en un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{F}_2$ con dos elementos, donde

$$ 0 g=0,\quad de 1 g=g $$

A continuación, tomar una base de $G$ como espacio vectorial: a continuación, $G$ se convierte en la suma directa de $n$ copias de $\mathbb{F}_2$, la cual, con respecto a la adición no es otra cosa que la $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Esto puede ser, por supuesto, generalizable a abelian grupos $G$ tal que $x^p=e$ cualquier $x\in G$ donde $p$ es primo.

Answer 2

La proposición es verdadera para $n=1$. Para $n\geq 2$, tome $g_1 \in G$ y deje $G_1=\langle g_1\rangle$. Para $i=2,\dots, n$ $g_i \in G \text{ \ } G_{i-1}$ donde $G_{i-1}=\langle g_1,\dots,g_{i-1}\rangle$. Por la hipótesis de inducción (o directamente), para $i < n, G_i \cong \mathbb{Z}_2^i$. En particular,$G_{n-1} \cong \mathbb{Z}_2^{n-1}$.

Por construcción $g_n \in G\text{ \ }G_{n-1}$, lo $\langle g_n \rangle \cap G_{n-1}=\{e\}$, ambas son normales desde $G$ es abelian y cada elemento en $G$ se puede escribir como un producto de los elementos de$\langle g_n\rangle$$G_{n-1}$. (Se puede ver esto al señalar que la izquierda cosets de $G_{n-1}$ $G_{n-1}$ $g_nG_{n-1}$ y partición del conjunto.) Por lo tanto $G \cong \langle g_n \rangle \times G_{n-1} \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2^{n-1}\cong\mathbb{Z}_2^n$ como se requiere.

Este es un lugar de fuerza bruta enfoque, pero solo hay una idea detrás de esto es decir, "mantener sacando $\mathbb{Z}_2$ hasta que no hay nada a la izquierda". La solución es mucho más simple si usted sabe acerca de los módulos (una generalización de los espacios vectoriales) o por medio de un tratamiento como un problema de álgebra lineal (como egreg hace a continuación), pero no hay nada de malo con este acercamiento elemental.