Probabilidad de rodar $n$ éxitos en una tirada de dados abierta/explosiva

Question

Intento calcular la probabilidad de conseguir un determinado número de éxitos al lanzar un conjunto de dados para pruebas abiertas/explosivas y cerradas. El éxito se define como una tirada por encima de un determinado umbral (variable). Si una tirada es abierta, cualquier dado que saque el valor máximo hace que se lance un dado adicional. Esto es para un juego de rol (Burning Wheel Gold).

Asumir el uso de un $n$ -sufrir un troquel de cara. Además, suponemos $d$ para ser el número de dados, $r$ para ser el número de aciertos necesarios, y $c$ para ser el valor mínimo aceptado como un éxito. Estoy dividiendo la pregunta en dos bloques: uno para tiradas abiertas y otro para tiradas cerradas.

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Rollo cerrado: Para las tiradas cerradas, podemos definir una recurrencia de probabilidad como sigue:

$$Pr\left[r,d\right] = \begin{cases} \\1-\frac{c}{n}:Pr\left[d-1,r\right]\\\frac{c}{n}:Pr\left[d-1,r-1\right] \end{cases}$$

Con probabilidad $\frac{c}{n}$ se cumplirá un éxito. Sin embargo, no estoy seguro de cómo resolver esta relación de recurrencia para cualquier número de éxitos dados/requeridos. Probablemente hay una manera más fácil de hacer esto, pero no he hecho mucho la probabilidad discreta.

Edición: Parece que una distribución de probabilidad binomial funciona para esta parte del problema. Esto viene en la forma de:

$${{d}\choose{r}}\left(\frac{c}{n}\right)^{r}\left(1-\frac{c}{n}\right)^{d-r}$$

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Rollo abierto: Para las tiradas abiertas, podemos encontrar el número equivalente de dados lanzados. Esto será igual a:

$$d+\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{d}{6^{j}} \right)=\frac{6d}{5}$$

Esto implica que, dado un número de dados $n$ , rodando los resultados abiertos en aproximadamente $\frac{6}{5}n$ dados lanzados. Si tuviéramos una manera fácil de resolver lo anterior para cualquier número de dados $n$ sería fácil: podríamos simplemente introducir el valor no entero $n$ y obtener nuestro resultado. Sin embargo, dado que lo anterior se define con una relación de recurrencia es una distribución binomial, y por tanto utiliza combinaciones, no funcionará para un número no entero. Por lo tanto, podemos definir una relación de recurrencia de la probabilidad de la siguiente manera:

$$Pr\left[ r,d\right] = \begin{cases} \\1-\frac{c}{n}:Pr\left[d-1,r\right]\\\frac{c-1}{n}:Pr\left[d-1,r-1\right]\\\frac{1}{n}:Pr\left[d,r-1\right] \end{cases}$$

La probabilidad de que no haya resultados significativos es $1-\frac{c}{n}$ la probabilidad de un éxito regular es $\frac{c-1}{n}$ y la probabilidad de un resultado "explosivo" o abierto es $\frac{1}{n}$ . Sin embargo, tampoco sé cómo resolver esta relación de recurrencia.

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Así que estas son mis preguntas:

• Para las tiradas cerradas, ¿cómo puedo encontrar la probabilidad de $n$ ¿éxitos? He mirado tablas de probabilidad existentes (PDF), pero en realidad no contienen las matemáticas para su generación, y no es intuitivo discernirlas en la tabla. Edición: Ver arriba; se aplica la fórmula binomial.
• En el caso de los rollos abiertos, ¿se puede aplicar la fórmula del rollo cerrado a un número no entero $\frac{6n}{5}$ ? Editar: No. Ver arriba; la fórmula binomial utiliza combinaciones, por lo que requiere números enteros.
• Entonces, ¿cómo resuelvo la relación de recurrencia del rodillo cerrado y/o encuentro la probabilidad abierta?

Answer 1

Se pueden resolver al mismo tiempo, el rollo cerrado es sólo un caso especial del abierto.

Dejemos que

$$d = \text{Number of sides on each die}$$ $$n = \text{Number of dice rolled}$$ $$s = \text{Score required for success}$$ $$m = \text{number of successes required}$$

Además, deja que

$$s = n^k+r$$

donde $$k\in 0,1,2,\dots$$ $$r\in 1,2,\dots,d$$

Y, que

$$\begin{align} p_o &= \text{chance of getting open ended}\\ &= \begin{cases} \frac{1}{d}&,\text{if roll is open}\\ 0&,\text{otherwise}\\ \end{cases} \end{align}$$

Así, para 1 dado, tenemos un distribución geométrica para conseguir $k$ resultados abiertos seguidos de una única tirada para obtener $r$ (nótese que no es exactamente una distribución geométrica ya que necesitamos $k$ fallos con $q=1-p_0$ seguido de 1 éxito con una probabilidad diferente). También necesitaremos $x^0=1$ .

$$p_1=\left(p_0\right)^{k}\left(\frac{d-r+1}{d}\right)$$

Para conseguir $m$ éxito de $n$ dados, tenemos un distribución binomial como lo has notado así

$$\begin{align} p_{m,n}&=\sum_{i=m}^n\binom{n}{i}p_1^i\left(1-p_1\right)^{n-i}\\ \end{align}$$

Algunos ejemplos:

• $d=6$ , $n=1$ , $s=4$ , $m=1$ y abierto; así que $k=0$ , $r=4$

$$\begin{align} p_0=\frac{1}{6}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_1&=\left(\frac{1}{6}\right)^{0}\left(\frac{6-4+1}{6}\right)\\ &=1\left(\frac{3}{6}\right)\\ &=1\times\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{2}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_{1,1}&=\sum_{i=1}^1\binom{1}{i}p_1^i\left(1-p_1\right)^{1-i}\\ &=\binom{1}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{1-1}\\ &=1\times\frac{1}{2}\times{1}\\ &=\frac{1}{2}\\ \end{align}$$

• $d=6$ , $n=1$ , $s=10$ , $m=1$ y abierto; así que $k=1$ , $r=4$

$$\begin{align} p_0=\frac{1}{6}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_1&=\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\left(\frac{6-4+1}{6}\right)\\ &=\frac{1}{6}\times\frac{3}{6}\\ &=\frac{1}{12}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_{1,1}&=\sum_{i=1}^1\binom{1}{i}p_1^i\left(1-p_1\right)^{1-i}\\ &=\binom{1}{1}\left(\frac{1}{12}\right)^{1}\left(1-\frac{1}{12}\right)^{1-1}\\ &=1\times\frac{1}{12}\times{1}\\ &=\frac{1}{12}\\ \end{align}$$

• $d=6$ , $n=3$ , $s=4$ , $m=2$ & cerrado; así que $k=0$ , $r=4$

$$\begin{align} p_0=0\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_1&=\left(0\right)^{0}\left(\frac{6-4+1}{6}\right)\\ &=1\left(\frac{3}{6}\right)\\ &=\frac{1}{2}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_{3,2}&=\sum_{i=2}^3\binom{1}{i}p_1^i\left(1-p_1\right)^{1-i}\\ &=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{3-2}+\binom{3}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{3-3}\\ &=3\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{8}\times1\\ &=\frac{4}{8}\\ &=\frac{1}{2}\\ \end{align}$$

• $d=6$ , $n=3$ , $s=10$ , $m=2$ y abierto; así que $k=1$ , $r=4$

$$\begin{align} p_0=\frac{1}{6}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_1&=\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\left(\frac{6-4+1}{6}\right)\\ &=\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{3}{6}\right)\\ &=\frac{1}{12}\\ \end{align}$$

$$\begin{align} p_{3,2}&=\sum_{i=2}^3\binom{1}{i}p_1^i\left(1-p_1\right)^{1-i}\\ &=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{12}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{12}\right)^{3-2}+\binom{3}{3}\left(\frac{1}{12}\right)^{3}\left(1-\frac{1}{12}\right)^{3-3}\\ &=3\times\frac{1}{144}\times\frac{11}{12}+1\times\frac{1}{1,728}\times1\\ &=\frac{34}{1,728}\\ &=\frac{17}{864}\\ &\approx0.02\\ \end{align}$$