Prueba de

Question

Quiero una 'simple' prueba que demuestre:

$$1^4+2^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$

He intentado demostrar como los otros pero no puedo y ahora realmente necesito la prueba. También quiero una prueba geométrica y esta a continuación:

$$1^3+2^3+3^3+...=(\frac{n(n+1)}{2})^2$$

prueba geométrica: Quiero una prueba usando formas y geometría.

Answer 1

Fuente de la imagen es AoPS

$$\sum{i=1}^n i^3=\left(\sum{i=1}^n i\right)^2$$

Answer 2

En cuanto a la simplificación hemos comenzado bien.

Answer 3

Si quieres una prueba simple" se puede calcular la diferencia $$(n+1)(n+2)(2n+3)(3n^2+9n+5)-n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$$ where the greater quantity comes from putting $n+1$ in the given formula. You can verify this is equal to $30(n+1)^4$ (you need for this some school calculation and you have this way determined the expression of $n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)+(n+1)^4$ ). Y usted puede terminar con la aplicación de una inducción inmediata.