Demostrando $|x(t)|\lt |t|$ para las soluciones de $x$ de una ODA

Question

El problema es:

Deje $x(t)$ una solución de $$x'=-x(t^2-x^2),$$ so that $|x(t_0)|\lt |t_0|$. Show that for all $|t|\gt |t_0|$, $|x(t)|\lt |t|$.

Supongamos que $t_0\geq 0$. Considere la posibilidad de

A continuación, $(t_0,x(t_0))$ es sobre la línea roja. No veo por qué: $x$ solución de la educación a distancia implica que la gráfica de $x$ permanecer entre las líneas azules a la derecha de la línea roja y a la izquierda de la línea naranja.

El intento.

El intento se convierte en una respuesta...

Answer 1

Por simplicidad, se multiplica la ecuación por $2x$ y restar $2t$ para obtener $$ (x^2-c^2)'=2x^2(x^2-c^2)-2t\etiqueta{1} $$ En primer lugar, vamos a tratar con $t>0$.

$(1)$ dice que si $x^2-t^2<0$, entonces también tenemos $(x^2-t^2)'<0$. Por lo tanto, si $x(t_0)^2-t_0^2<0$, $x(t)^2-t^2<0$ todos los $t\ge t_0$.

A continuación, vamos a tratar con $t<0$.

$(1)$ dice que si $x^2-t^2\ge0$, entonces también tenemos $(x^2-t^2)'\ge0$. Por lo tanto, si $x(t)^2-t^2\ge0$, $x(t_0)^2-t_0^2\ge0$ todos los $t_0\ge t$. El contrapositivo dice que para todos los $t\le t_0$ si $x(t_0)^2-t_0^2<0$, luego tenemos a $x(t)^2-t^2<0$.

Una Explicación Gráfica

Considere el campo de la dirección (también conocido como el campo pendiente y diagrama de flujo) para las soluciones. Es decir, el campo de vectores $\color{#0000c0}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t,x)}$ que es tangente a todas las soluciones de $\color{#c00000}{(t,x)}$.

$\hspace{3cm}$

La parte importante a tener en cuenta es el flujo a través de la frontera $x^2=t^2$ entre las regiones donde se $\color{#00c000}{x^2< t^2}$$\color{#c000c0}{x^2>t^2}$. Observe que el en el límite, el flujo es horizontal ya que $x'=x(x^2-t^2)=0$.

$\hspace{4.2cm}$

Por lo tanto, cuando se $t<0$ (a la izquierda), la solución sólo puede mover de la región donde se $\color{#00c000}{x^2< t^2}$ a la región donde $\color{#c000c0}{x^2>t^2}$. Al $t>0$ (a la derecha), la solución sólo puede mover de la región donde se $\color{#c000c0}{x^2>t^2}$ a la región donde $\color{#00c000}{x^2< t^2}$.

Answer 2

Consideremos, en primer lugar $t_0\geq 0$.

Supongamos que el conjunto $$C:=\{t\gt t_0:x(t)\geq t\}$$ is not empty, thus, since $C$ is bounded below by $t_0$, $$\tau=\inf C$$ is well defined. We can proof (by taking a sequence $C\ni t_n\a\tau$ and assuming continuity of $x$) that $\tau\en C$. In particular $\tau\gt t_0$ and then $$x(\tau)\geq\tau\gt 0,$$ then, there exist an $\alpha\gt 0$ such that $x$ is positive over $]\tau\alpha,\tau+\alpha[\subconjunto]t_0,\infty[$.

A continuación, para todos los $t\in]\tau-\alpha,\tau[$, por la definición de $\tau$, $t\notin C$ (de lo contrario,$t\in C$$t\lt\inf C$), por lo $0\lt x(t)\lt t$ y, a continuación, $$x'(t)=x(t)(x(t)^2-t^2)\lt 0,$$ por lo $x$ está disminuyendo en la $]\tau-\alpha,\tau[$.

Pick $t\in ]\tau-\alpha,\tau[$, luego $$x(t)\geq x(\tau)\geq\tau\gt t,$$ thus $t\in C$, y eso es contradictorio.

Por lo tanto, $C=\emptyset$ y, a continuación, para todos los $t\gt t_0$, $x(t)\lt t$.

Answer 3

Sugerencia: Si $x(t_0) &lt |t_0|$, entonces, por la ecuación diferencial, $x'(t_0) = -x(t_0)(\textrm{something positive})$.

Answer 4

Si $x(t_0)=0$ $x(t)=0$ todos los $t\ge t_0$. Sin pérdida de geneality, asumimos $x(t_0)\ne0$.

Si $0&ltx(t_0)&ltt_0$, quiere mostrar que $0&ltx(t)\le t$ todos los $t\ge t_0$. Ahora, $x'(t_0)=-x(t_0)(t_0^2-x(t_0)^2)&lt0$. Por la unicidad de las soluciones de $x(t)>0$ todos los $t\>t_0$. Y desde el lado derecho de la ecuación es negativo en la región de $\{(t,x):0&ltx&ltt,t>t_0\}$, es fácil ver que $x$ está disminuyendo.

Si $x(t_0)=t_0$$x'(t_0)=0$. Tomando derivados en ambos lados de la ecuación obtenemos $x''(t_0)=-2\,t_0\,x(t_0)&lt0$. Por lo tanto $x'(t)&lt0$ en un intervalo $(t_0,t_0+\delta)$, $\delta>0$, $x(t)&ltt$ en ese mismo intervalo de tiempo, y el argumento en el anterior párrafo lleva a través.

Os dejo el caso de $-t_0\le x(t_0)&lt0$.