Deje $k$ ser un campo, $ A \in M_{m\times m}(k)$ ser un solo bloque de Jordan con autovalor $a$, e $B \in M_{n\times n}(k)$ ser un solo bloque de Jordan con autovalor $b$. $A$ y $B$ juntos definir una transformación lineal $$A\otimes B : k^{m\times n} \to k^{m\times n} $$ y mi pregunta es
¿cuál es la forma canónica de Jordan de a $A\otimes B$? (La forma canónica de Jordan de a $A\otimes B$ existe porque el polinomio característico de a $A\otimes B$ se divide y es igual a $(t-ab)^{mn}$)
Uno puede hacerle cosquillas a esta pregunta directamente por la búsqueda de la $A\otimes B$ subespacios invariantes de $k^{m\times n}$:
Suponga $m\geq n$, vamos a $\{e_i\}$ ser una base de $k^m$, e $\{f_j\}$ ser una base de $k^n$, $\{e_i\otimes f_j\}$ formulario de una base de $k^{m\times n}$. En el caso $a=b=0$, $k^{m\times n}$ se descompone en la suma directa de $$\bigoplus_{l=n-m}^{m-n} V_l$$ donde $V_l=\mathrm{span}\{e_i\otimes e_j|i-j=l\}$, e $A\otimes B$ restringido a cada una de las $V_l$ es un solo bloque de Jordan. En el caso de que exactamente uno de $a,b$ es igual a cero no es mucho más difícil. Pero el caso de $ab\neq 0$ es mucho más difícil.
Otra forma de encontrar los divisores elementales del mapa $$k[t]^{m\times n}\xrightarrow{tI-A\otimes B} k[t]^{m\times n}$$ el uso de la fórmula $$d_i=\gcd(\{i\times i\text{ minor of }A\otimes B\})$$ pero no puedo encontrar una buena manera de calcular el $\gcd$'s.
Cualquier ayuda o sugerencias se agradece. Gracias!
