Para un grupo $G$ tal que $|G| = p^3$, $p$ prime, o $|Z(G)| = p$ o $G$ es abeliano.

Question

Me vino con esta prueba, y he encontrado algunas otras pruebas en línea, pero la mía es diferente y quiero ver si he cometido algún error.

Problema:

Supongamos $|G| = p^3$ donde $p$ es un primo. Mostrar que cualquiera de las $|Z(G)|=p$ o $G$ es abelian.

Caso 1: $G$ no es abelian

Tenemos la clase de ecuación

$$|G| = |Z(G)| + \sum_{g\in G\setminus Z(G) } \frac{|G|}{|\mathrm{Cent}(g)|}$$

donde $Z(G)$ es el centro del grupo, y $|\mathrm{Cent} (g)|$ es el centralizador de $g$.

si resolvemos para $|Z(G)|$ tenemos

$$|Z(G)| = |G| - \sum_{g\in G\setminus Z(G) } \frac{|G|}{|\mathrm{Cent}(g)|} = p^3 \bigg( 1-\sum \frac{1}{\mathrm{Cent}(g)} \bigg)$$

También, desde la $Z(G) \leq G$, por Lagrange del teorema, $|Z(G)|$ divide $|G| = p^3 = ppp$

Por lo tanto, tenemos 4 posibilidades: $|Z(G)| = \{1,p,p^2,p^3\}$

No puede ser $p^3$ ya que implica que $G$ es abelian, contradiciendo la hipótesis inicial. Hay otro teorema que establece que si $|G|$ es una potencia de un número primo, entonces el centro de la $G$ contiene nonidentity elementos, por lo que no puede ser $1$.

Esto nos deja con $p$ o $p^2$.

Si el tamaño es $p^2$, podemos ir a la clase de ecuación y obtener $$p^3 = p^2 + \sum\frac{p^3}{|\mathrm{Cent}(g)|}$$ $$p\bigg( 1 - \sum\frac{p}{\mathrm{Cent}(g)}\bigg) = 1$$ $$\sum\frac{p}{\mathrm{Cent}(g)} = \frac{p-1}{p}$$

Este número tiene que ser un número entero mayor que o igual a $0$, y la única opción es que, a continuación,$p=1$, pero ya hemos descartado esa opción, y $|Z(G)| \neq p^2$

Por lo tanto, $|Z(G)| = p$ si $G$ es nonabelian.

Si es abelian, a continuación,$G \setminus Z(G) = \emptyset$, por lo que la suma es más de no elementos de dar a $0$, e $Z(G)=G \leq G$.

Answer 1

Supongamos que $G$ no es abelian.

Sabemos que $Z(G)\leq G$.

Por Lagrange del Teorema $|Z(G)|$ debe dividir $|G|$.

Desde $|G|=p^{3}$ las posibilidades son $1, p, p^{2}, p^{3}$.

$|Z(G)|\neq p^{3}$ porque de lo contrario vamos a tener $Z(G)=G$ pero $G$ no es abelian.

$|Z(G)|\neq p^{2}$ también porque de lo contrario vamos a tener a la orden del factor grupo por el centro como $|G/Z(G)|=|G|/|Z(G)|= p^{3}/p^{2} = p$. Por lo tanto:

$|G/Z(G)|=p \implies G/Z(G)$ es cíclico $\implies G$ es abelian. Pero $G$ no es abelian.

Ahora $|Z(G)|\neq 1$ porque $G$ $p-group$ $p-groups$ no trivial centro.

Así pues, debe ser que $|Z(G)|=p$.

Answer 2

La clase de ecuaciones que usted escribió es incorrecta. Usted tiene que elegir un elemento de cada clase conjugacy; si denotamos por a $g_1,\dots,g_k$ los elegidos de los que no los únicos, tenemos $$ |G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{\lvert\operatorname{%}(g_i)\rvert} $$ Esta muestra $|Z(G)|>1$, debido a $\operatorname{Cent}(g_i)\subsetneq G$, por lo que la suma da un múltiplo de $p$. Por lo tanto, también a $|Z(G)|$ debe ser un múltiplo de $p$. (Tenga en cuenta que esto sólo requiere de $|G|$ es una potencia de $p$.)

Así, sólo en tres casos son posibles: $|Z(G)|=p$, $|Z(G)|=p^2$ o $|Z(G)|=p^3$. Necesitamos excluir el segundo caso.

Supongamos $|Z(G)|=p^2$. A continuación, $G/Z(G)$ orden $p$, por lo que es cíclico. Si $gZ(G)$ es un generador, entonces para cada a $x\in G$ tenemos $xZ(G)=g^mZ(G)$, pero esto fácilmente implica $G$ es abelian: contradicción.

No estoy seguro de que su argumento con la clase ecuación es buena.