Dos respuestas diferentes de la misma integral indefinida

Question

Evaluar $$\int \frac {dx}{x^2-x+1}$$

Método 1

$$\int \frac {dx}{x^2-x+1}=\frac {4}{3}\int \frac {dx}{1+\frac {4(x-1/2)^2}{3}}$$

Poner $u=x-1/2$

Por lo tanto $$\frac 43\int \frac {dx}{1+\frac {4(x-1/2)^2}{3}} =\frac 43\int \frac {du}{1+\frac {4u^2}{3}}$$

Y entonces yo podría usar a $$\int \frac {dx}{1+x^2}=\arctan x$$

Método 2

Deje $$I=\int \frac {dx}{x^2-x+1}$$

Poner $x=\frac 1y$

Por lo tanto $dx=\frac {-dy}{y^2}$

Por lo tanto $$I=\int \frac {\frac {-dy}{y^2}}{\frac {1}{y^2}-\frac 1y+1}=-\int \frac {dy}{y^2-y+1}=-\int \frac {dx}{x^2-x+1}=-I$$

Por lo tanto $$I=-I\Rightarrow I=0$$

¿Por qué tengo dos respuestas diferentes? Supongo que me estoy perdiendo algún tipo de vínculo en el método 2.

Answer 1

El no es una integral definida y $y$ no es una variable ficticia.

$$-\int \frac {dy}{y^2-y+1}=-\int \frac {dx}{x^2-x+1}$$

es incorrecta.

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De hecho, tenemos $\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C$.

$\displaystyle I=-\int\frac{dy}{y^2-y+1}$ implica que el $\displaystyle \int\frac{dx}{x^2-x+1}+\int\frac{dy}{y^2-y+1}$ es una constante (no necesariamente cero).

Como $\displaystyle y=\frac{1}{x}$, significa que $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{x}-1}{\sqrt{3}}\right)$ es una constante.

Nota: Esta constante es diferente al$x>0$$x<0$.