De un número finito de anillo de matrices es un campo finito

Question

tengo un número primo $p$ y un polinomio irreducible $R(x)$ de grado $n$ , $\alpha$ a raíz de la $R$ a continuación, se sabe que el campo de $\mathbb{F}_{p^n}$ es isomorfo al campo $\mathbb{F}_{p}[\alpha]$.

deje $M$ ser la compañera de la matriz de $R$, en particular .

quiero una prueba de que $\mathbb{F}_{p}[M]$ es un campo isomorfo a $\mathbb{F}_{p^n}$.

me he dado cuenta de que $R(M)=O$ (Carley-teorema de Hamilton), pero no sé si es o no $M$ se encuentra en el algebraicas cierre de $\mathbb{F}_{p}$ si la dosis que va a dar el resultado por la construcción de campos finitos así que me quedé atrapado allí...

A continuación he tratado de dar una explícita isomorfismo (anillo de isomorfismo) \begin{array}{ccccc} \psi : & \mathbb{F}_{p^{n}} & \rightarrow & \mathbb{F}_{p}[M] & \\ & 0 & \rightarrow & O & \\ & \alpha ^{i} & \rightarrow & M^{i} & 0<i<q^{n}-1% \end{array} con la suposición de que $\alpha$ es un elemento primitivo de $\mathbb{F}_{p^{n}}$

es fácil puf que $\psi(a*b)=\psi(a)*\psi(b)$ pero me couldent prueba de que $\psi(a+b)=\psi(a)+\psi(b)$

ACTUALIZACIÓN: puedo decir que $M$ es algebraico sobre $\mathbb{F}_{p}$ ?

Answer 1

Otro enfoque es el de demostrar que $\mathbb{F}_{p}[M]$ es un campo. Desde que se ha $p^n$ elementos, debe ser isomorfo a $\mathbb{F}_{p^n}$, por la singularidad de los campos finitos.

Un elemento típico de $\mathbb{F}_{p}[M]$ está dado por $f(M)$$\deg f < \deg R$. Si $f(M)\ne0$,$\gcd(f,R)=1$, debido a $R$ es irreductible e $\deg f < \deg R$. Entonces, podemos escribir $1=a(x)f(x)+b(x)R(x)$$\mathbb{F}_{p}[x]$. Por lo tanto, $1=a(M)f(M)$ $f(M)$ es invertible.

Answer 2

En primer lugar, debe definir $\psi\left(\sum_ia_i\alpha^i\right)=\sum_ia_iM^i$ , de modo que $\psi(a+b)=\psi(a)+\psi(b)$ mantiene automáticamente. Sin embargo, usted también tendrá que demostrar que $\psi$ está bien definido, por ejemplo, si $\sum_ia_i\alpha^i=0$, entonces usted debe tener $\sum_ia_iM^i=0$.

Usted puede conseguir alrededor de este problema mediante el 1er teorema de isomorfismo. Vamos $\psi:\mathbb{F}_p[x]\to\mathbb{F}_p(M)$ ser el anillo único homomorphism dado por $\psi(x)=M$ ( $\psi\left(\sum_ia_ix^i\right)=\sum_ia_iM^i$ . Este mapa es claramente surjective. Desde $R(M)=0$, sabemos que $\langle R(x)\rangle\subseteq\ker\psi$. Pero $R(x)$ es irreductible, por lo $\langle R(x)\rangle$ es máxima y la igualdad se mantiene.

Finalmente, por el 1er teorema de isomorfismo $\mathbb{F}_p/\langle R(x)\rangle\cong\mathbb{F}_p[M]$. Desde $\mathbb{F}_{p^n}\cong\mathbb{F}_p/\langle R(x)\rangle$, hemos terminado.