Implícito derivado implícito integral?

Question

Una estudiante de pregrado de la mía me pidió el año pasado a la siguiente pregunta.

Deje $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$. La ecuación de $f(x,y)=0$ define implícitamente una función de $y:\mathbb R\to\mathbb R$ y podemos expresar sus derivadas en términos de las derivadas parciales de $f$. Ahora, ¿hay algún método para expresar un "implícito integral" de $y$ en términos de otras cantidades? I. e. $$\int_{ I} y(x) dx$$ para algunos intervalo de $I$ o como una antiderivada como una función de la $y$, en términos de las integrales de $f$ en algunas series de $\mathbb R^2$.

Me pareció que era una pregunta interesante, y me felicitó porque de ella fuera de la caja de pensamiento. Pero yo no sabía cómo responder a esto, mi intuición es que no existe un método.

Answer 1

No estoy seguro de que para interpretar bien tu pregunta, pero si buscamos una función de $F(x)$ tal que $F'(x)=y(x)$ de la función implícita $f(x,y)=0$ se convierte en una ecuación diferencial: $f(x,F')=0$ que puede ser resuelto (cuando es posible) con uno de los métodos clásicos.

Claramente no es un simple método para integrar la educación a distancia (basado en reglas dadas como para que la diferencia implícita). pero esto no es diferente de la habitual diferencia entre la diferenciación del anuncio de la integración de una "explícita" de la función.