¿Qué acerca de la $\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-x\cos\left(\frac{\pi y}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi z}{2}\right)}dxdydz\,$?

Question

Sé que con la ayuda de Wolfram Alpha cómo obtener la forma cerrada de estas variaciones de un conocido representación integral de Riemann zeta función de $$\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-x\cos\left(\frac{\pi y}{2}\right)}dxdy,\tag{1}$$ y $$\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-xy\cos\left(\frac{\pi z}{2}\right)}dxdydz.\tag{2}$$

No sé si estos se encuentran en la literatura, me gustaría saber ¿qué acerca de la integral de la $$\mathcal{J}=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-x\cos\left(\frac{\pi y}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi z}{2}\right)}dxdydz.$$ Si es que en la literatura no dude en consultar el artículo o el ejercicio, la respuesta a esta pregunta, como una referencia de la solicitud, y me tratan de buscar y leer de forma cerrada de la literatura.

Pregunta. Desde mi enfoque sé que $$\mathcal{J}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(k+1)^3}\left(\frac{\Gamma\left(\frac{k+3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)}\right)^2,\tag{3}$$ donde $\Gamma(s)$ denota la función gamma. ¿Sabes cómo calcular el $\mathcal{J}$ mediante la integración o bien terminando mi enfoque que ofrece la forma cerrada de la serie anterior? Muchas gracias.

Answer 1

Por la separación de pares/impares valores de $k$, $$\sum_{k\geq 0}\frac{\Gamma\left(\frac{k+3}{2}\right)^2}{(k+1)^3\,\Gamma\left(\frac{k+2}{2}\right)^2}=G+\frac{1}{2\pi}\,\phantom{}_4 F_3\left(1,1,1,1;\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2},2;1\right)\tag{1} $$ y la hipergeométrica término puede ser calculada a través de la transformada de Fourier-Legendre de la serie de expansiones de la maquinaria. En particular $$ \sum_{k\geq 0}\frac{\Gamma\left(\frac{k+3}{2}\right)^2}{(k+1)^3\,\Gamma\left(\frac{k+2}{2}\right)^2}= 2G-\frac{7\,\zeta(3)}{4\pi}\tag{2} $$ y $$\mathcal{J} = \frac{4G}{\sqrt{\pi}}-\frac{7\,\zeta(3)}{4\pi\sqrt{\pi}}.\tag{3} $$