Binomio de suma $\sum\binom nkk^2$

Question

Pregunta:

Encontrar $$\sum_{k=0}^n\binom nkk^2$$

Yo sé cómo hacer $$\sum_{k=0}^n\binom nkk=n\space2^{n-1}$$

Traté de aplicar la misma cosa y alcanzó $$\sum_{k=0}^n\binom nkk^2=n\sum_{k=0}^n\binom{n-1}{k-1}k$$

¿Cómo proceder?

Answer 1

Aquí hay una manera de hacerlo:

Recuerdan $$(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k}x^k.$$

Conectar $x = 1$ da que la suma de los coeficientes binomiales es $2^n$. Observe que $$x \frac{d}{dx} \left(x \frac{d}{dx} \left( (1 + x)^n\right) \right) = \sum_{k = 0}^n k^2 \binom{n}{k} x^k .$$

La informática de la mano izquierda y la evaluación en $x = 1$ te dará la respuesta.

Answer 2

A partir de su procedimiento:

$$\sum_{k=0}^n\binom nkk^2=n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}{(k\color{red}{-1+1})} = n\left( (n-1)\sum_{k=2}^{n} \binom{n-2}{k-2}+\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}\right)$$

La suma es por lo tanto similar a

$$n\left( (n-1)\sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k}+\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}\right) = {n((n-1)2^{n-2}+2^{n-1})}= \color{blue}{n(n+1)2^{n-2}}$$

Answer 3

También se puede dar una combinatoria argumento (basado en A. Engel libro en la resolución de problemas): es la suma cuenta el número de maneras de elegir un comité de un grupo de $n$ de la gente, y nombrar un presidente y un secretario (que podían ser nombrados para la misma persona). Si primero se elige el presidente y el secretario, se consideran dos casos. Si una persona es tanto el presidente y el secretario, usted puede elegir él/ella en $n$ formas, y luego el resto de la comisión puede ser elegido en $2^{n - 1}$ maneras. Si son personas diferentes, puedes elegir en $n(n - 1)$ formas y, a continuación, seleccione el resto de la comisión en $2^{n - 2}$ maneras. Esto le da $$ n 2^{n - 1} + n(n - 1)2^{n - 2} = n(n + 1)2^{n - 2}. $$ Por lo tanto, tenemos la igualdad $$ \sum_{k = 0}^n {n \elegir k} k^2 = n(n + 1)2^{n - 2}. $$

EDIT: Para obtener más ejemplos de la información//de ejercicios en la combinatoria de los argumentos para este tipo de sumas: Capítulo 5 de Engel Estrategias de Resolución de problemas (usted puede encontrar un pdf en línea).

Answer 4

Un enfoque probabilístico.

Deje $X_i$ ser iid ensayos de Bernoulli con $P(X_i=1)=1/2$$i=1,\dotsc,n$. A continuación, $X=X_1+\dotsb+X_n$ sigue una distribución Binomial con $n$ ensayos y la probabilidad de éxito $1/2$ es decir $$ P(X=k)=\binom{n}{k}2^{n}\quad(0\leq k\leq n) $$ En particular,$EX_i=P(X_i=1)=1/2$, e $X^2=X$ $EX^2=EX$ e lo $\text{Var}(X_i)=EX_i^2-(EX_i)^2=1/4$ todos los $i$. Por otra parte, $$ \text{Var}(X)=\sum_{i=1}^n\text{Var}(X_i)=n(1/4)=n/4;\quad EX=\sum_{i=1}^nEX_i=n/2 \tag{0} $$ puesto que el $X_i$ son independientes e idénticamente distribuidas.

Observe que $$ EX^2=2^{n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}k^2\etiqueta{1} $$ pero a partir de (0), tenemos que $$ EX^2=\text{Var}(X)+(EX)^2=\frac{n(n+1)}{4}\etiqueta{2} $$ de donde (1) y (2) implica que $$ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}k^2=2^d^2=2^{n-2}n(n+1). $$

Answer 5

Sugerencia:

$$k^{r+1}=k(k-1)\cdots(k-r)+A_1k(k-1)\cdots(k-r+1)+\cdots+A_rk$$ where $A_i,1\le i\le r$ son constantes arbitrarias

$$\binom nkk^2=\cdots=\dfrac{n!k(k-1)}{(n-k)!k!}+\dfrac{n!k}{(n-k)!k!}$$

$$=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}+n\binom{n-1}{k-1}$$

Ahora uso $$(1+1)^m=\sum_{r=0}^m\binom mr$$

Poco Generalización:

Para $r=2,$ $$k^3=k(k-1)(k-2)+A_1k(k-1)+A_2k$$

$k=1\implies A_2=1,k=2\implies2A_1+2A_2=8$

$$\binom nkk^3=n(n-1)(n-2)\binom{n-3}{k-3}+4n(n-1)\binom{n-2}{k-2}+n\binom{n-1}{k-1}$$