¿La fórmula de Euler dar $e^{-ix}=\cos(x) -i\sin(x)$?

Question

¿Eulers fórmula de dar $$e^{-ix}=\cos(x) -i\sin(x)$$

Sé que $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$ But how does it work when we have a $-$ en frente

Answer 1

$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\tag{1}$$ $$e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\tag{2}$$

Para llegar desde $(1)$$(2)$, que acaba de sustituir a $x$$-x$. Usted obtener el $-$ frente debido a $\sin(-x)=-\sin(x)$, pero la identidad es todavía el mismo.

Answer 2

El $\sin$ función es impar, por lo $\sin(-x)=-\sin(x)$.
El $\cos$ función es par, entonces $\cos(-x)=\cos(x)$.
El uso de estos y la fórmula de Euler, podemos conseguir que $$e^{-ix}=e^{i(-x)}=i\sin(-x)+\cos(-x)=-i\sin(x)+\cos(x)$$ Si usted no se siente cómodo con ella:
Deje $u=-x$, $$e^{-ix}=e^{iu}=i\sin(u)+\cos(u)=i\sin(-x)+\cos(-x)=-i\sin(x)+\cos(x)$$ Y usted puede expresar el$\sin$$\cos$, de la siguiente manera: $$e^{ix}+e^{-ix}=(i\sin(x)+\cos(x))+(-i\sin(x)+\cos(x))$$ $$e^{ix}+e^{-ix}=i\sin(x)+\cos(x)+-i\sin(x)+\cos(x)$$ $$e^{ix}+e^{-ix}=2\cos(x)$$ $$\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos(x)$$ Y $$e^{ix}-e^{-ix}=(i\sin(x)+\cos(x))-(-i\sin(x)+\cos(x))$$ $$e^{ix}-e^{-ix}=i\sin(x)+\cos(x)+i\sin(x)-\cos(x)$$ $$e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin(x)$$ $$\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\sin(x)$$

Answer 3

Recuerde que $$\begin{align}-i &=-\sqrt{-1} \\ &=(-1)\sqrt{-1} \\ &=i^2\cdot i \\ &= i^3\end{align}$$ por Lo tanto, si

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x),$ $e^{-ix} = (e^{ix})^{-1}.$

Por lo tanto,

$$\boxed{ \ e^{-ix} = \frac{1}{\cos(x) + i\sin(x)}. \ }$$

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Editar:

Como @Botond sugerido, mediante el uso de un conjugado método como se menciona en su comentario a continuación, se obtiene la mucho mejor resultado, $$e^{-ix} = \frac{\cos(x) - i\sin(x)}{\cos(x)^2 + \sin(x)^2}.$$ Since $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$, entonces, sí, correcto, de hecho.

Answer 4

De la propiedad de que para cualquier $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, $$e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$$ we have that $$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{ix-ix}=e^0=1$$ so $$e^{-ix}=\frac1{e^{ix}}=\frac{\overline{e^{ix}}}{e^{ix}\cdot\overline{e^{ix}}}=\frac{\overline{e^{ix}}}{|e^{ix}|^2}=\overline{e^{ix}}$$ using that $\cos^2x+\sin^2x=1$.