Resolver $45x-3795x^3 +95634x^5 - \cdots + 945x^{41}-45x^{43}+x^{45} = N$ ?

Question

Tenemos el siguiente extracto de la obra de John Stillwell Las matemáticas y su historia :

Mi pregunta es, ¿cuáles son los indicios que delatan que esto proviene de la expansión de $\sin 45 \theta$ ?

Answer 1

Esa debería ser la expresión de $2 \sin (45\, \theta)$ en términos de $2\sin \theta=x$ Es decir $$2\sin(45 \arcsin \frac{x}{2})$$ La expresión completa es $$x^{45} - 45 x^{43} + 945 x^{41} - 12300 x^{39} + 111150 x^{37} - 740259 x^{35} + 3764565 x^{33} -\\- 14945040 x^{31} + 46955700 x^{29} - 117679100 x^{27} + 236030652 x^{25} - 378658800 x^{23} +\\+ 483841800 x^{21} - 488494125 x^{19} + 384942375 x^{17} - 232676280 x^{15} + 105306075 x^{13} -\\- 34512075 x^{11} + 7811375 x^9 - 1138500 x^7 + 95634 x^5 - 3795 x^3 + 45 x$$

En cuanto a las pistas, para cualquier $n$ impar la expansión de $2\sin(n \arcsin \frac{x}{2})$ comienza (como debe ser) con $n x$ y termina con $(-1)^{\frac{n-1}{2}}(- n x^{n-2}+x^n )$ . Eso debió ser una fuerte insinuación para Viete. La expansión explícita para el general impar $n$ puede obtenerse utilizando Polinomios de Chebyshev .

Añadido:Si $n$ es un parámetro, entonces la expansión de Taylor de $2 \sin(n \arcsin\frac{x}{2})$ tiene los primeros términos

$$n x - \frac {n(n^2-1)}{24} x^3 + \frac{n(n^2-1)(n^2-9)}{1920} x^5 +\mathcal{O}(x^7)$$ (una serie hipergeométrica de hecho). Si $n$ es un entero impar entonces la serie de Taylor es de hecho un polinomio de grado $n$ con coeficientes integrales, pero no en otro caso. Comprobemos los valores de $n=45$ : $$\frac{45(45^2-1)}{24}=3795\\ \frac{45(45^2-1)(45^2-9)}{1920}=95634$$

De hecho, la serie de Taylor es $$2\sin(n \arcsin \frac{x}{2})=\sum_{k\ge 0} (-1)^k \frac{n}{2k+1}\binom{\frac{n-1}{2}+k}{2k}x^{2k+1}$$ un polinomio si $n$ es un número entero impar.

La forma en que Viete calculó $\phi_{n}(x)=2\sin(n \arcsin\frac{x}{2})$ para $n=45$ es probablemente al notar que $\phi_{m}\circ\phi_n=\phi_{mn}$ y empezando por $\phi_3$ y $\phi_5$ .

Answer 2

Tal vez, es esto:

${\sin n \theta = \dbinom{n}{1}\cos^{n-1}\theta\sin \theta- \dbinom{n}{3}\cos^{n-3}\theta \sin^3 \theta + \dbinom n 5\cos^{n-5}\theta\sin ^{5}\theta...}\\= \color{blue}{\displaystyle\sum_{r=0, 2r+1\le n}(-1)^r\dbinom{n}{2r+1}\cos^{n-2r-1}\theta \sin^{2r+1}\theta} $

Prueba:

$(\cos \theta+ i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$

Escribiendo la expansión binomial del LHS obtenemos:

$\dbinom{n}{0}\cos^n \theta + i\dbinom{n}{1}\cos^{n-1}\theta\sin \theta -\dbinom{n}{2}\cos^{n-2}\theta \sin^2\theta - i\dbinom {n}{3}\cos^{n-3}\theta \sin \theta+\dbinom{n}{4}\cos^{n-4}\theta\sin ^4 \theta+ i\dbinom{n}{5}\cos^{n-5}\theta\sin \theta$

Comparación de partes reales e imaginarias, ${\sin n \theta = \dbinom{n}{1}\cos^{n-1}\theta\sin \theta- \dbinom{n}{3}\cos^{n-3}\theta \sin^3 \theta + \dbinom n 5\cos^{n-5}\theta\sin ^{5}\theta...}$ ... que es el resultado deseado.