Cómo muchos de los elementos con rango de $r$$\mathbb{M}_n(\mathbb{F}_p)$?

Question

Deje $\mathbb{F}_p$ ser un campo con $p$ elementos y $\mathbb{M}_n(\mathbb{F}_p)$ es el conjunto de todos los $n \times n$ matrices sobre el campo $\mathbb{F}_p$.

Ahora, sabemos que $|\mathbb{M}_n(\mathbb{F}_p)| = p^{n^2}$. El número de matriz con rango de $1$$1$, es decir, el nulo de la matriz de orden $n$. Número de matrices con rango de $n$ es $$\prod_{i=0}^{n-1} (p^n-p^i),$$ namley $GL(n, \mathbb{F}_p)$.

Cómo muchos de los elementos con rango de $r~ (0 \leq r \leq n)$$\mathbb{M}_n(\mathbb{F}_p)$?

Nota: Si se denota el número de lements con rango de $i~ (0 \leq i \leq n)$ $R_i$ $\mathbb{M}_n(\mathbb{F}_p)$ $$\sum_{i=0}^{n} R_i= p^{n^2}.$ $

Answer 1

Primero, vamos a contar los subespacios de dimensión $r$ de la base del espacio vectorial $V = F^{n}$. Entiendo que este es el de los tramos de las filas, decir (usted puede preferir columnas) de una matriz de rango $r$.

Hay $$ s_{r} = \frac{(p^{n}-1) \cdots (p^{n} - p^{i-1})}{(p^{r}-1) \cdots (p^{r} - p^{i-1})} $$ dichos subespacios.

El número de matrices de rango $r$ es el número de surjective lineal mapas de $V$ a uno de estos subespacios (creo que las filas o las columnas de una matriz).

Para esto, me refiero a esta respuesta.

Answer 2

Una de cal construir una fórmula recursiva para calcular el número de matrices de $m\times n$, con un coeficiente de $\mathbb F_p$, de un determinado rango de $r$. Deje $k(m,n,r)$ ser tal número.

Deje $M$ ser una matriz de rango $r$ y deje $N$ ser la matriz $m\times(n-1)$ obtenido por la eliminación de la última columna de $v$$M$. A continuación, $N$ tiene rango de cualquiera de las $r$ o $r-1$. Si $N$ rango $r$, $v$ pertenece a la $r$-dimensional espacio de $\mathbb F_p^m$ generado por las columnas de a $N$. Si $N$ rango $r-1$, $v$ pertenece al complemento de la $(r-1)$-dimensional espacio generado por las columnas de a $N$.

De ello se sigue que $$k(m,n,r)=k(m,n-1,r) p^r + k(m,n-1,r-1)(p^m-p^{r-1})$$

El mismo razonamiento se aplica a las filas. Esto da una fórmula recursiva para $k(n,n,r)$ en términos de $k(n-1,n-1,r), k(n-1,n-1,r-1), k(n-1,n-1,r-2)$

No sé si a partir de ahí se puede deducir una fórmula exacta.