Tensor de Ricci para una 3-esfera sin paquetes matemáticos

Question

Tengamos la métrica de una 3-esfera: $$ dl^{2} = R^{2}\left(d\psi ^{2} + sin^{2}(\psi )(d \theta ^{2} + sin^{2}(\theta ) d \varphi^{2})\right). $$ Intenté calcular las componentes del tensor de Riemann o Ricci, pero me dio problemas.

Al principio, me salieron expresiones para los símbolos de Christoffel: $$ \Gamma^{i}_{ii} = \frac{1}{2}g^{ii}\partial_{i}g_{ii} = 0, $$

$$ \Gamma^{i}_{ji} = \frac{1}{2}g^{ii}\partial_{j}g_{ii}, $$

$$ \Gamma^{k}_{ll} = -\frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll}, $$

$$ \Gamma^{k}_{lj} = \Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \Gamma^{k}_{jj}\delta^{j}_{l} = 0. $$

La curvatura de Ricci debe ser $$ R_{lj}=\frac{2}{R^{2}}g_{lj}. $$ Pero cuando uso la definición del tensor de Ricci,

$$ R_{lj}^{(3)} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{lj} - \partial_{l}\Gamma^{\lambda}_{j \lambda} + \Gamma^{k}_{j l}\Gamma^{\sigma}_{k \sigma} - \Gamma^{k }_{l \sigma}\Gamma^{\sigma}_{jk}, $$ No puedo asociar una expresión (si no he cometido los errores)

$$ R_{lj}^{(3)} = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{k}_{lk}\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{jl}\Gamma^{j}_{lj} - \Gamma^{l}_{kl}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj} - \Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl} = $$

$$ = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{k}_{lk}\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{jl}\Gamma^{j}_{lj} - 2\Gamma^{l}_{kl}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj}, $$ donde hay una suma sólo en $k, \sigma$ con una expresión para el tensor métrico.

Tal vez, hay algunas pistas, que pueden ayudar?

Answer 1

No, repito, no mezclar índices abstractos y concretos. Confunde a la gente (y en este caso, a ti mismo). En cualquier caso, ¡tienes que calcular explícitamente! No va a haber una fórmula mágica que salga en "forma general", ya que sus expresiones para el símbolo de Christoffel sólo utilizan el hecho de que su métrica es diagonal en un determinado sistema de coordenadas con cierta independencia de coeficientes. En particular, no le importa que tengas $\sin\psi$ en lugar de $f(\psi)$ para un número arbitrario de $f$ . Dado que existen tres variedades con curvatura no constante, no se puede simplemente leer la identidad basándose en lo que se ha calculado. Hay que calcular realmente las distintas componentes, en coordenadas del tensor de Ricci, y demostrar que son el factor multiplicativo apropiado de las correspondientes componentes del tensor métrico.

Es decir, debe calcular cosas como $$ \Gamma^\psi_{\theta\varphi}, \Gamma^\psi_{\theta\theta}, \Gamma^\varphi_{\varphi\theta}$$ explícitamente y lo introducimos en la expresión del tensor de Ricci para obtener explícitamente los valores $$ R_{\varphi\varphi}, R_{\psi\theta} $$ etc.