Permutaciones no afectan a la suma en serie compleja implica la convergencia absoluta?

Question

Deje $\sum a_{n}$ ser un complejo de la serie que converge. Ahora vamos a $\sum a'_{n}$ ser un reordenamiento de la serie. Si tenemos $$ \sum a_{n}=\sum'_{n} $$ para todos los reordenamientos, es verdad eso de $\sum a_{n}$ converge absolutamente?

En una nota similar, para todos los que lo propio Rudin Principios de Análisis Matemático, se puede comprobar si existe un Teorema de 3.56 en su libro? Rudin cites Real y el Análisis Complejo, y no sé si es una errata o fue el teorema de agregar en posteriores ediciones.

Answer 1

Sí, es cierto. Supongamos $\sum a_n$ no converge absolutamente, es decir,$\sum |a_n| = +\infty$. Escribir $a_n = b_n - c_n + i d_n - i e_n$ donde $b_n = \max(\text{Re}(a_n),0)$, $c_n = \max(-\text{Re}(a_n),0)$, $d_n = \max(\text{Im}(a_n),0)$, $e_n = \max(-\text{Im}(a_n),0)$ son todos no negativos. Desde $|a_n| \le b_n + c_n + d_n + e_n$, al menos uno de $\sum b_n$, $\sum c_n$, $\sum d_n$, $\sum e_n$ es $+\infty$. Digamos que es $\sum b_n$. Deje $A$ el conjunto de los enteros positivos $n$ que $b_n > 0$ ( $\text{Re}(a_n) > 0$ ), y $B$ aquellos para los que $\text{Re}(a_n) \le 0$. Dividido $A$ en infinidad de distintos finito bloques de $A_1, A_2, \ldots$, por lo que el $\sum_{n \in A_k} \text{Re}(a_n) \ge 1$. Luego de reorganizar la serie de la siguiente manera: tome $a_n$$n \in A_1$, entonces el primer miembro de $B$,$A_2$, el segundo miembro de $B$, etc. El reordenado de la serie diverge, porque suma más de una cuadra de $A_k$ siempre los cambios de la suma parcial de por lo menos $1$.