La fórmula que necesita ser probada es, básicamente, el cambio de las variables de $(x,y)\rightarrow(F,\tau)$ donde $F$ es el nivel de $f$ $\tau$ es el natural de parámetros (longitud de curva) en el conjunto de nivel. En realidad, es más fácil ir en la dirección inversa: inicio de la expresión de la derecha, donde integramos la función de $\frac{f}{|\nabla F|}$. Entonces, pasando de $(F,\tau)$$(x,y)$, la integral se transformará en
$$ \int_D \frac{f}{|\nabla F|} \left|\frac{D(F,\tau)}{D(x,y)}\right|dxdy,$$
donde
$$ \left|\frac{D(F,\tau)}{D(x,y)}\right|=|\mathrm{det}\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y}\\
\frac{\partial \tau}{\partial x} & \frac{\partial \tau}{\partial y}
\end{array}\right)|$$
es el jacobiano de la variable de cambio.
Por lo tanto, todo lo que debemos mostrar es que
$$ |\nabla F|=\biggl|\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial \tau}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial \tau}{\partial x}\right)\biggr|.\tag{1}$$
Pero, puesto que el vector unitario $\vec{n}$ ortogonal a $\nabla{F}$ (y, por tanto, la tangente a la curva de nivel) tiene la forma
$$ \vec{n}=\left(-\frac{1}{|\nabla F|}\frac{\partial F}{\partial y},
\frac{1}{|\nabla F|}\frac{\partial F}{\partial x}\right),$$
a continuación,$d\vec{l}=\vec{n}d\tau=(dx,dy)\Rightarrow d\tau=n_xdx+n_ydy$, por lo que
$$ \frac{\partial\tau}{\partial x}=n_x=-\frac{1}{|\nabla F|}\frac{\partial F}{\partial y},\qquad
\frac{\partial\tau}{\partial y}=n_y=\frac{1}{|\nabla F|}\frac{\partial F}{\partial x}.$$
Sustituyendo estas expresiones en (1), vemos que de hecho está satisfecho.
